Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você está me pedindo para escrever os 5 primeiros termos de séries geométricas, dizer se cada uma delas converge ou diverge e, se convergir, calcular a soma delas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica, identificar seus termos, verificar a razão da série e usar as fórmulas apropriadas para determinar a convergência e a soma.

Passo 2

Primeiro, uma série geométrica é uma soma de termos que formam uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão ®. A série geral fica assim:
a + ar + ar^2 + ar^3 + dots
Aqui, a é o primeiro termo e r é a razão.
Vamos escolher alguns valores para a e r para exemplificar:
  1. a = 2 , r = 3
  2. a = 5 , r = 12
  3. a = -1 , r = -2

Passo 3

Agora, vamos escrever os 5 primeiros termos de cada série utilizando a fórmula geral.
Série 1: a = 2 , r = 3
2, 2 times 3 = 6, 6 times 3 = 18, 18 times 3 = 54, 54 times 3 = 162
Série 2: a = 5 , r = 12
5, 5 times 12 = 2.5, 2.5 times 12 = 1.25, 1.25 times 12 = 0.625, 0.625 times 12 = 0.3125
Série 3: a = -1 , r = -2
-1, -1 times (-2) = 2, 2 times (-2) = -4, -4 times (-2) = 8, 8 times (-2) = -16

Passo 4

Para determinar se cada série converge ou diverge, precisamos analisar o valor absoluto da razão r.
  • Se |r| < 1 , a série converge.
  • Se |r| >= 1 , a série diverge.
Série 1: r = 3 |3| = 3 >= 1 Diverge
Série 2: r = 12 |12| = 0.5 < 1 Converge
Série 3: r = -2 |-2| = 2 >= 1 Diverge

Passo 5

Para as séries que convergem, podemos calcular a soma infinita usando a fórmula:
S = a1 - r
Série 2:
S = 51 - 12 = 512 = 10

Resposta

  1. Série 1: 2, 6, 18, 54, 162. Diverge.
  2. Série 2: 5, 2.5, 1.25, 0.625, 0.3125. Converge. Soma: 10.
  3. Série 3: -1, 2, -4, 8, -16. Diverge.

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