Em cada um dos itens abaixo, calcule a solução geral da equação diferencial. Lembre-se de que a solução geral requer a solução da homogênea associada e uma solução particular.
y^prime prime+2 y^prime+5 y=3 sin (2 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' + 2y' + 5y = 3 sin(2t)
O conteúdo envolve achar primeiro a solução da homogênea associada e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a homogênea consideramos
y'' + 2y' + 5y = 0
e buscamos y=e^rt. A equação característica é
r^2 + 2r + 5 = 0,
cuja raiz é
r = -1 pm 2i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = e^-tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r)

Passo 3

Para a parte particular usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante é 3sin(2t), testamos
yp(t) = acos(2t) + bsin(2t)
Calculamos agora yp' e yp''.

Passo 4

Derivando,
yp'(t) = -2asin(2t) + 2bcos(2t),
yp''(t) = -4acos(2t) - 4bsin(2t)
Substituindo em y''+2y'+5y obtemos os coeficientes de cos(2t) e sin(2t):
(a + 4b)cos(2t) + (b - 4a)sin(2t) = 0cdotcos(2t) + 3sin(2t)
Assim formam-se o sistema
a + 4b = 0, b - 4a = 3

Passo 5

Resolvendo a + 4b = 0 a = -4b. Substituindo em b - 4a = 3:
b - 4(-4b) = b + 16b = 17b = 3 Longrightarrow b = 317, a = -1217
Logo
yp(t) = -1217cos(2t) + 317sin(2t)

Resposta

y(t) = e^-tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r) - 1217cos(2t) + 317sin(2t)

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