Determine o volume do sólido dado. Abaixo do paraboloide
acima da região delimitad por
e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica por baixo do paraboloide
e por cima da região
no plano
delimitada pelas curvas
Como o volume sob uma superfície
sobre uma região
é dado por
vamos montar a integral dupla de
sobre
.
Passo 2
Para descrever
precisamos achar onde as curvas se intersectam. Igualamos
substituindo
em
, obtemos
logo as interseções ocorrem em
e
. Correspondem aos pontos
e
.
Passo 3
Para cada
entre
e
, o
varia da curva mais `a esquerda
at’e a reta mais `a direita
. Assim,
Passo 4
A integral do volume fica
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Avalia de
a
:
Então
Passo 6
Integramos termo a termo em
:
Somando:
Resposta
O volume do sólido é
.