Determine o volume do sólido dado. Abaixo do paraboloide z=3 x^2+y^2 e acima da região delimitad por y=x e x=y^2-y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica por baixo do paraboloide
z = 3x^2 + y^2
e por cima da região R no plano xy delimitada pelas curvas
y = x e x = y^2 - y
Como o volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre uma região R é dado por
V = integral duplaR f(x,y),dA,
vamos montar a integral dupla de (3x^2+y^2) sobre R.

Passo 2

Para descrever R precisamos achar onde as curvas se intersectam. Igualamos
y = x e x = y^2 - y
substituindo x=y em x=y^2-y, obtemos
y = y^2 - y ;Longrightarrow; y^2 - 2y = 0 ;Longrightarrow; y(y-2)=0
logo as interseções ocorrem em y=0 e y=2. Correspondem aos pontos (0,0) e (2,2).

Passo 3

Para cada y entre 0 e 2, o x varia da curva mais `a esquerda
x = y^2 - y at’e a reta mais `a direita x = y. Assim,
R = l(x,y) mid 0 <= y <= 2,; y^2 - y <= x <= yr

Passo 4

A integral do volume fica
V = integraly=0^2!integralx=y^2 - y^,x=yl(3x^2 + y^2r),dx,dy

Passo 5

Primeiro integramos em x:
integrall(3x^2 + y^2r),dx = integral3x^2,dx ;+;integral y^2,dx = x^3 + y^2,x
Avalia de x=y^2-y a x=y:
l[x^3 + y^2xr]x=y^2-y^x=y = l(y^3 + y^3r) - l((y^2-y)^3 + y^2(y^2-y)r) = 2y^3 - l(y^6 -3y^5 +4y^4 -2y^3r) = -y^6 +3y^5 -4y^4 +4y^3
Então
V = integral0^2l(-y^6 +3y^5 -4y^4 +4y^3r),dy

Passo 6

Integramos termo a termo em y:
integral0^2 -y^6,dy = -2^77 = -1287, integral0^2 3y^5,dy = 3cdot2^66 = 32,
integral0^2 -4y^4,dy = -4cdot2^55 = -1285, integral0^2 4y^3,dy = 4cdot2^44 = 16
Somando:
V = 32 + 16 - 1285 - 1287 = 48 - 128l(15+17r) = 48 - 128cdot1235 = 14435

Resposta

O volume do sólido é 14435.

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