Seja S a parte da superfície z=2-raizx^2+y^2 interna ao cilindro x^2+y^2 <= 2 x, z >= 0. Calcule integral duplaS(2-z) d S.

Passo 1

Começamos com a parte da superfície definida por z=2−√(x²+y²) restrita ao cilindro x²+y²≤2x e z≥0. O conteúdo aqui é integral de superfície de função z=f(x,y), e vamos precisar usar a fórmula dS=√(1+fₓ²+fᵧ²) dA e coordenadas polares para descrever a região de projeção.

Passo 2

Como z=f(x,y)=2−√(x²+y²), calculamos as derivadas parciais:
fₓ=-xraizx²+y², fᵧ=-yraizx²+y²²²²²
Então
dS=raiz1+fₓ²+fᵧ²,dA=raiz1+1,dA=raiz2,dA²²

Passo 3

Em coordenadas polares (x=r cosθ, y=r sinθ), a região no plano xy dada por x²+y²≤2x vira r≤2cosθ. Além disso z≥0 implica r≤2, mas o limite r≤2cosθ já garante r≤2 se cosθ≥0. Logo θ varia de −π/2 a π/2 e r de 0 a 2cosθ.

Passo 4

O integrando é 2−z e como z=2−r temos 2−z=r. Então o integral de superfície fica
integral duplaS(2-z),dS=integral duplaD r,(raiz2,dA)=raiz2integralθ=-π2^π2integralr=0^2cosθrcdot r,dr,dθ=raiz2integral-π2^π2integral0^2cosθr^2,dr,dθ

Passo 5

Fazendo a integral em r:
integral0^2cosθr^2,dr=tfrac13(2cosθ)^3=tfrac83cos^3θ

Passo 6

Substituindo e integrando em θ:
raiz2cdottfrac83integral-π2^π2cos^3θ,dθ=tfrac8raiz23cdot2integral0^π2cos^3θ,dθ=tfrac16raiz23cdottfrac23=tfrac32raiz29

Resposta

32raiz29

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