Seja
a parte da superfície
interna ao cilindro
. Calcule
.
Passo 1
Começamos com a parte da superfície definida por z=2−√(x²+y²) restrita ao cilindro x²+y²≤2x e z≥0. O conteúdo aqui é integral de superfície de função z=f(x,y), e vamos precisar usar a fórmula dS=√(1+fₓ²+fᵧ²) dA e coordenadas polares para descrever a região de projeção.
Passo 2
Como z=f(x,y)=2−√(x²+y²), calculamos as derivadas parciais:
Então
Passo 3
Em coordenadas polares (x=r cosθ, y=r sinθ), a região no plano xy dada por x²+y²≤2x vira r≤2cosθ. Além disso z≥0 implica r≤2, mas o limite r≤2cosθ já garante r≤2 se cosθ≥0. Logo θ varia de −π/2 a π/2 e r de 0 a 2cosθ.
Passo 4
O integrando é 2−z e como z=2−r temos 2−z=r. Então o integral de superfície fica
Passo 5
Fazendo a integral em r:
Passo 6
Substituindo e integrando em θ: