Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
13. sumn=1^infty(1n-1n^2)

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=1^infty(1n-1n^2) para verificar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, como o Teste da Série p e a Série Comparativa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
1n - 1n^2 = n - 1n^2
Isso ajuda a visualizar melhor como os termos se comportam conforme $ n $ aumenta.

Passo 3

Agora, reescrevemos a série utilizando a simplificação:
sumn=1^infty(1n - 1n^2) = sumn=1^infty1n - sumn=1^infty1n^2
Isso separa a série original em duas séries mais simples para analisar individualmente.

Passo 4

Vamos analisar cada uma das séries separadamente:
  1. Série Harmônica: sumn=1^infty1n
    • Teste da Série p: Aqui, $ p = 1 $. Sabemos que a série harmônica diverge porque para $ p \leq 1 $, a série p = 1 não converge.
  2. Série p: p <= 1
    • Teste da Série p: Neste caso, $ p = 2 $, que é maior que 1. Portanto, esta série converge.

Passo 5

Agora, observamos que a série original é a diferença de uma série divergente (a harmônica) e uma série convergente. Quando subtraímos uma quantidade limitada (já que a segunda série converge) de uma quantidade que tende ao infinito (série harmônica), o resultado ainda tende ao infinito.

Resposta

A série sumn=1^infty(1n-1n^2) diverge.

Exercícios relacionados