Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
13.
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Passo 1
Estamos analisando a série
para verificar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, como o Teste da Série p e a Série Comparativa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Isso ajuda a visualizar melhor como os termos se comportam conforme $ n $ aumenta.
Passo 3
Agora, reescrevemos a série utilizando a simplificação:
Isso separa a série original em duas séries mais simples para analisar individualmente.
Passo 4
Vamos analisar cada uma das séries separadamente:
-
Série Harmônica:
- Teste da Série p: Aqui, $ p = 1 $. Sabemos que a série harmônica diverge porque para $ p \leq 1 $, a série
não converge.
- Teste da Série p: Aqui, $ p = 1 $. Sabemos que a série harmônica diverge porque para $ p \leq 1 $, a série
-
Série p:
- Teste da Série p: Neste caso, $ p = 2 $, que é maior que 1. Portanto, esta série converge.
Passo 5
Agora, observamos que a série original é a diferença de uma série divergente (a harmônica) e uma série convergente. Quando subtraímos uma quantidade limitada (já que a segunda série converge) de uma quantidade que tende ao infinito (série harmônica), o resultado ainda tende ao infinito.
Resposta
A série
diverge.