Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
5. sumn=1^infty n^1010^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma série infinita: sumn=1^infty n^1010^n. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito quando somamos infinitamente. Se a soma não se aproxima de nenhum número específico, a série diverge.

Passo 3

Para analisar a série sumn=1^infty n^1010^n, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando temos termos que envolvem potências de n ou exponenciais. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando n tende ao infinito.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an = n^1010^n. Então,
an+1an = (n+1)^10/10^n+1n^10/10^n = (n+1)^1010 cdot n^10

Passo 5

Simplificando a expressão:
(n+1)^1010 cdot n^10 = 110 ( n+1n )^10 = 110 (1 + 1n)^10

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 110 (1 + 1n)^10
Sabemos que limn to infty (1 + 1n)^10 = 1, porque 1n se aproxima de 0.
Então,
L = 110 times 1 = 110

Passo 7

De acordo com o Teste da Razão, se L < 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, L = 110 < 1, então a série sumn=1^infty n^1010^n converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^1010^n converge, conforme demonstrado pelo Teste da Razão.

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