Seja o perfil de potencial elétrico em uma seção reta retangular definida por
e
, dado por
em que
. Calcule o campo elétrico
, o qual é obtido pela expressão
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um potencial elétrico $ V(x, y) $ definido em uma seção retangular com $ 0 \leq x \leq a $ e $ 0 \leq y \leq b $. A pergunta é para calcular o campo elétrico $ \vec{E} $ usando a relação $ \vec{E} = -\nabla V $. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o gradiente de uma função em coordenadas retangulares e aplicar isso ao potencial dado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o campo elétrico $ \vec{E} $ é dado pelo negativo do gradiente do potencial $ V $. Em coordenadas retangulares, o gradiente $ \nabla V $ é calculado pelas derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $ e $ y $:
Portanto, o campo elétrico será:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ V(x, y) $ em relação a $ x $. Observamos que $ V(x, y) $ é uma soma infinita, então vamos derivar termo a termo:
Como $ m = 2n - 1 $, podemos substituir e derivar:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de $ V(x, y) $ em relação a $ y $:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar as componentes do campo elétrico $ \vec{E} $:
Resposta
Portanto, o campo elétrico $ \vec{E}(x, y) $ é dado por: