Seja o perfil de potencial elétrico em uma seção reta retangular definida por 0 <= x <= a e 0 <= y <= b, dado por
V(x, y)=4 V0pi sumn=1^infty sen(m pi y / b) senh(m pi x / b)m senh(m pi a / b)
em que m=2 n-1. Calcule o campo elétrico E, o qual é obtido pela expressão
E=-nabla V

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um potencial elétrico $ V(x, y) $ definido em uma seção retangular com $ 0 \leq x \leq a $ e $ 0 \leq y \leq b $. A pergunta é para calcular o campo elétrico $ \vec{E} $ usando a relação $ \vec{E} = -\nabla V $. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o gradiente de uma função em coordenadas retangulares e aplicar isso ao potencial dado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o campo elétrico $ \vec{E} $ é dado pelo negativo do gradiente do potencial $ V $. Em coordenadas retangulares, o gradiente $ \nabla V $ é calculado pelas derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $ e $ y $:
E
Portanto, o campo elétrico será:
V

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ V(x, y) $ em relação a $ x $. Observamos que $ V(x, y) $ é uma soma infinita, então vamos derivar termo a termo:
V(x, y)
Como $ m = 2n - 1 $, podemos substituir e derivar:
x

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de $ V(x, y) $ em relação a $ y $:
V(x, y)

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar as componentes do campo elétrico $ \vec{E} $:
E
Ex = -partial Vpartial x = -4 V0pi b sumn=1^infty pi sin(m pi yb) cosh(m pi xb)sinh(m pi ab) = -4 V0b sumn=1^infty sin(m pi yb) cosh(m pi xb)sinh(m pi ab)

Resposta

Portanto, o campo elétrico $ \vec{E}(x, y) $ é dado por:
E(x, y)

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