Seja phi(x) uma função derivável tal que phi(1)=2, phi(2)=6, phi^prime(1)=3 e phi^prime(2)=-1. Calcule f^prime(1) supondo:
f(x)=sen(pi x) phi(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=sin(pi x),phi(x) no ponto x=1, sabendo que phi(1)=2 e phi'(1)=3. O conteúdo aqui é a regra do produto de derivadas.

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, lembramos que se f(x)=u(x)v(x), então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui temos u(x)=sin(pi x) e v(x)=phi(x).

Passo 3

Derivando u(x), usamos a cadeia: a derivada de sin(t) é cos(t) e de pi x é pi, então
u'(x)=picos(pi x)
v'(x)=phi'(x). Assim,
f'(x)=picos(pi x),phi(x)+sin(pi x),phi'(x)

Passo 4

Agora avaliamos em x=1. Sabemos que:
cos(picdot1)=cos(pi)=-1,sin(picdot1)=0,
e os dados são phi(1)=2 e phi'(1)=3. Então
f'(1)=pi(-1)cdot2+0cdot3=-2pi

Resposta

-2\pi

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