Verifique em quais pontos do domínio a função f abaixo é diferenciável e calcule a derivada de f em cada um deles:
f: C C, f(z)=sin (z);

Passo 1

A função em questão é f: ℂ → ℂ dada por f(z)=sin(z). O conteúdo aqui é teoria de funções holomorfas (diferenciáveis no sentido complexo). Para resolver, vamos usar a representação exponencial de sin(z) ou, em alternativa, as equações de Cauchy-Riemann para analisar a diferenciabilidade.

Passo 2

Usando a identidade exponencial
sin z = e^iz - e^-iz2i
as funções exponenciais são inteiramente diferenciáveis em todo ℂ. Como f é combinação linear e composições de funções inteiras, concluímos que f é diferenciável em todo ponto z∈ℂ.

Passo 3

Para obter a derivada, aplicamos a regra de derivação às exponenciais:
ddze^iz = i e^iz, ddze^-iz = -i e^-iz
Logo,
f'(z)=i e^iz -(-i)e^-iz2i=i e^iz+i e^-iz2i=e^iz+e^-iz2=cos(z)

Resposta

A função f é diferenciável em todo z\inℂ e f’(z)=cos(z).

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