Verifique em quais pontos do domínio a função
abaixo é diferenciável e calcule a derivada de
em cada um deles:
;
Passo 1
A função em questão é f: ℂ → ℂ dada por f(z)=sin(z). O conteúdo aqui é teoria de funções holomorfas (diferenciáveis no sentido complexo). Para resolver, vamos usar a representação exponencial de sin(z) ou, em alternativa, as equações de Cauchy-Riemann para analisar a diferenciabilidade.
Passo 2
Usando a identidade exponencial
as funções exponenciais são inteiramente diferenciáveis em todo ℂ. Como f é combinação linear e composições de funções inteiras, concluímos que f é diferenciável em todo ponto z∈ℂ.
Passo 3
Para obter a derivada, aplicamos a regra de derivação às exponenciais:
Logo,
Resposta
A função f é diferenciável em todo z\inℂ e f’(z)=cos(z).