Seja phi(x) uma função derivável tal que phi(1)=2, phi(2)=6, phi^prime(1)=3 e phi^prime(2)=-1. Calcule f^prime(1) supondo:
f(x)=phi(phi(x)).

Passo 1

O exercício pede para achar a derivada de f(x)=φ(φ(x)) em x=1, usando que φ é derivável e temos φ(1)=2, φ(2)=6, φ′(1)=3 e φ′(2)=−1. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivadas de composição.

Passo 2

A regra da cadeia diz que, se f(x)=φ(φ(x)), então
f'(x)=φ'(φ(x))cdot φ'(x)
Isso acontece porque a gente deriva a função externa φ em relação ao argumento interno φ(x) e multiplica pela derivada da parte interna φ(x).

Passo 3

Agora basta avaliar em x=1. Como φ(1)=2, temos
f'(1)=φ'(φ(1))cdot φ'(1)=φ'(2)cdot φ'(1)=(-1)cdot3=-3

Resposta

-3

Exercícios relacionados