Seja phi(x) uma função derivável tal que phi(1)=2, phi(2)=6, phi^prime(1)=3 e phi^prime(2)=-1. Calcule f^prime(1) supondo:
f(x)=phi(x+1)phi(x).

Passo 1

O enunciado dá uma função derivável phi(x) com phi(1)=2, phi(2)=6, phi'(1)=3 e phi'(2)=-1 e pede f'(1) para f(x)=phi(x+1)phi(x). Vamos usar regra do quociente e regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar f(x)=phi(x+1)phi(x), note que phi(x+1) exige regra da cadeia (derivada interna = 1) e depois a regra do quociente. Assim temos:
f'(x)=phi'(x+1)cdotphi(x)-phi(x+1)cdotphi'(x)[phi(x)]^2

Passo 3

Agora avaliamos em x=1. Substituindo phi'(2)=-1, phi(1)=2, phi(2)=6 e phi'(1)=3, o numerador fica
phi'(2),phi(1)-phi(2),phi'(1)=(-1)cdot2-6cdot3=-2-18=-20,
e o denominador é ([\phi(1)]2=22=4.

Passo 4

Dividindo numerador por denominador, obtemos f'(1)=-204=-5.

Resposta

-5

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