Seja pi o plano que contém as retas r1:(x, y, z)=(2 t, t, 2-t) e r2:(x, y, z)=(u, u, 2). Determine a equação de pi.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que contém as retas
r1: (x,y,z) = (2t,;t,;2 - t)
e
r2: (x,y,z) = (u,;u,;2)
O conteúdo é geometria analítica no espaço: para achar o plano precisamos de um ponto comum e de um vetor normal, que obtemos a partir dos vetores diretores das retas.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta:
para r1: v1 = (2,,1,,-1),
para r2: v2 = (1,,1,,0)

Passo 3

Para garantir que as retas se interceptam e obter um ponto no plano, igualamos as parametrizações em z:
2 - t = 2 Longrightarrow t = 0
Substituindo em r1 vem (x,y,z) = (0,0,2). Em r2 para u=0 também obtemos (0,0,2). Logo, o ponto
P0 = (0,0,2)
pertence a ambas as retas e serve como ponto de referência do plano.

Passo 4

O vetor normal n do plano é perpendicular a v1 e v2, então calculamos o produto vetorial:
n = v1 times v2 = i & j & k 2 & 1 & -1 1 & 1 & 0 = (1,, -1,, 1)

Passo 5

A equação do plano com normal n=(1,-1,1) passando por P0=(0,0,2) é
ncdotl((x,y,z)-P0r)=0 Longrightarrow 1,(x-0) ;-;1,(y-0);+;1,(z-2)=0,
ou seja,
x - y + z - 2 = 0

Resposta

A equação do plano pi é
boxedx - y + z = 2

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