Verifique se as aplicações dadas são Transformações Lineares. Em caso negativo, identifique qual(is) condições não são satisfeitas:
T: R^3 R^2 definida como T(x, y, z)=(x+2 y-z, 4 x-5 y+6 z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (,x + 2y - z,;4x - 5y + 6z,)
é transformação linear. Para isso usamos a definição: T é linear se, para quaisquer vetores u,v e escalar c, tivermos
  1. T(u + v) = T(u) + T(v) (aditividade)
  2. T(c,u) = c,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
T(u+v) = T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) = l((x1+x2)+2(y1+y2)-(z1+z2),; 4(x1+x2)-5(y1+y2)+6(z1+z2)r)
= (x1+2y1-z1,;4x1-5y1+6z1) + (x2+2y2-z2,;4x2-5y2+6z2) = T(u) + T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja cinR e u=(x,y,z). Então
T(c,u) = T(c x,;c y,;c z) = l(c x +2(c y)-c z,;4(c x)-5(c y)+6(c z)r) = c,(x+2y-z,;4x-5y+6z) = c,T(u)

Passo 4

Como as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) são satisfeitas, concluímos que T é transformação linear.

Resposta

T é transformação linear.

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