Considere os planos definidos abaixo:
\beta 1:(x, y, z)=(1,2,3)+a(-1,1,-2)+b(1,-1,3)
\beta 2:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 c+4 d \\\ y=1-2 c-4 d \\\ z=8+4 c+12 d\end{array}\right.
\beta 3:-2 x+2 y+3 z-1=0
Determine a posição relativa entre:
\beta 1 e \beta 2

Passo 1

O enunciado pede: determinar a posição relativa entre os planos \beta_1\) e \(\beta_2\). Informações dadas: \[\beta_1:(x,y,z)=(1,2,3)+a(-1,1,-2)+b(1,-1,3)
\beta_2:\begin{cases} x=2+2c+4d\\[4pt] y=1-2c-4d\\[4pt] z=8+4c+12d \end{cases}
Ou seja, para \beta_1\] são dados um ponto e dois vetores diretores; para \(\beta_2 são dadas as coordenadas paramétricas com parâmetros c,d. A pergunta é se os planos são paralelos distintos, coincidentes ou concorrentes (interseção em reta).]

Passo 2

Primeiro vou extrair os vetores diretores de cada plano e calcular seus vetores normais (porque planos são paralelos exatamente quando seus normais são paralelos; e coincidentes se, além disso, um ponto de um plano pertence ao outro).
Do enunciado, para \beta_1 os vetores diretores são
\mathbf{v}_1 = (-1,1,-2),\qquad \mathbf{v}_2=(1,-1,3).
O vetor normal \mathbf{n}_1 de \beta_1 pode ser obtido pelo produto vetorial \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2. Lembra: o produto vetorial de \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr),
e é um vetor perpendicular a ambos. Aplicando:
\mathbf{n}_1=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2
\mathbf{n}_1=\bigl(1\cdot3-(-2)\cdot(-1),\;(-2)\cdot1-(-1)\cdot3,\;(-1)\cdot(-1)-1\cdot1\bigr).
Calculemos cada componente:
\mathbf{n}_1=(3-2,\,-2+3,\,1-1)=(1,1,0).
Portanto \mathbf{n}_1=(1,1,0). Interpretação: qualquer vetor perpendicular a \beta_1 é paralelo a (1,1,0).

Passo 3

Agora para \beta_2 os vetores diretores correspondentes aos parâmetros c e d são
\mathbf{u}_1=(2,-2,4),\qquad \mathbf{u}_2=(4,-4,12),
obtidos por derivar a expressão paramétrica em relação a c e a d. O vetor normal \mathbf{n}_2 é \mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2. Usando a fórmula do produto vetorial:
\mathbf{n}_2=\mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2
\mathbf{n}_2=\bigl((-2)\cdot12-4\cdot(-4),\;4\cdot4-2\cdot12,\;2\cdot(-4)-(-2)\cdot4\bigr).
Calculando:
\mathbf{n}_2=(-24+16,\;16-24,\;-8+8)=(-8,-8,0).
Note que \mathbf{n}_2=-8(1,1,0). Conclusão: \mathbf{n}_2 é paralelo a \mathbf{n}_1. Portanto os planos são paralelos entre si (podem ser coincidentes ou distintos).

Passo 4

Para decidir entre “paralelos distintos” e “coincidentes” devemos verificar se um ponto de \beta_2 pertence a \beta_1. Um ponto simples de \beta_2 obtém-se tomando c=0,d=0:
Q=(2,1,8).
Um ponto conhecido de \beta_1 é P=(1,2,3) (veio do termo livre da parametrização). A condição para Q estar em \beta_1 é que o vetor \overrightarrow{PQ}=Q-P seja ortogonal ao normal \mathbf{n}_1 (porque qualquer vetor que liga dois pontos do mesmo plano é perpendicular ao normal). Calculemos:
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2-1,\;1-2,\;8-3)=(1,-1,5).
Agora o produto escalar com \mathbf{n}_1=(1,1,0):
\overrightarrow{PQ}\cdot\mathbf{n}_1 = 1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 5\cdot0 = 1-1+0 = 0.
Como o produto escalar é zero, \overrightarrow{PQ} é perpendicular a \mathbf{n}_1, logo Q pertence ao plano \beta_1. Portanto \beta_2 tem um ponto em comum com \beta_1 e, como os normais são paralelos, os planos coincidem.

Passo 5

Resumo da lógica (para você lembrar na prova): extraímos vetores diretores de cada parametrização, fizemos produto vetorial para achar normais; normais proporcionales ⇒ planos paralelos; então testamos um ponto de um plano para ver se satisfaz o outro (verificando ortogonalidade do vetor entre pontos com o normal). Aqui deu coincidência.

Resposta

Os planos \beta_1 e \beta_2 coincidem.

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