Considere os planos definidos abaixo: \beta 1:(x, y, z)=(1,2,3)+a(-1,1,-2)+b(1,-1,3) \beta 2:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 c+4 d \\\ y=1-2 c-4 d \\\ z=8+4 c+12 d\end{array}\right. \beta 3:-2 x+2 y+3 z-1=0
Determine a posição relativa entre: \beta 1 e \beta 2
Passo 1
O enunciado pede: determinar a posição relativa entre os planos \beta_1\) e \(\beta_2\).
Informações dadas:
\[\beta_1:(x,y,z)=(1,2,3)+a(-1,1,-2)+b(1,-1,3)
Ou seja, para \beta_1\] são dados um ponto e dois vetores diretores; para \(\beta_2 são dadas as coordenadas paramétricas com parâmetros c,d. A pergunta é se os planos são paralelos distintos, coincidentes ou concorrentes (interseção em reta).]
Passo 2
Primeiro vou extrair os vetores diretores de cada plano e calcular seus vetores normais (porque planos são paralelos exatamente quando seus normais são paralelos; e coincidentes se, além disso, um ponto de um plano pertence ao outro).
Do enunciado, para \beta_1 os vetores diretores são
O vetor normal \mathbf{n}_1 de \beta_1 pode ser obtido pelo produto vetorial \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2. Lembra: o produto vetorial de \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é
obtidos por derivar a expressão paramétrica em relação a c e a d. O vetor normal \mathbf{n}_2 é \mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2. Usando a fórmula do produto vetorial:
Note que \mathbf{n}_2=-8(1,1,0). Conclusão: \mathbf{n}_2 é paralelo a \mathbf{n}_1. Portanto os planos são paralelos entre si (podem ser coincidentes ou distintos).
Passo 4
Para decidir entre “paralelos distintos” e “coincidentes” devemos verificar se um ponto de \beta_2 pertence a \beta_1. Um ponto simples de \beta_2 obtém-se tomando c=0,d=0:
Q=(2,1,8).
Um ponto conhecido de \beta_1 é P=(1,2,3) (veio do termo livre da parametrização). A condição para Q estar em \beta_1 é que o vetor \overrightarrow{PQ}=Q-P seja ortogonal ao normal \mathbf{n}_1 (porque qualquer vetor que liga dois pontos do mesmo plano é perpendicular ao normal). Calculemos:
Como o produto escalar é zero, \overrightarrow{PQ} é perpendicular a \mathbf{n}_1, logo Q pertence ao plano \beta_1. Portanto \beta_2 tem um ponto em comum com \beta_1 e, como os normais são paralelos, os planos coincidem.
Passo 5
Resumo da lógica (para você lembrar na prova): extraímos vetores diretores de cada parametrização, fizemos produto vetorial para achar normais; normais proporcionales ⇒ planos paralelos; então testamos um ponto de um plano para ver se satisfaz o outro (verificando ortogonalidade do vetor entre pontos com o normal). Aqui deu coincidência.