Aqui temos: um plano \beta_1 dado de forma paramétrica por um ponto P_0=(1,2,3) e dois vetores diretores \mathbf{v}_1=(-1,1,-2) e \mathbf{v}_2=(1,-1,3); e um plano \beta_3 dado por uma equação cartesiana linear.
Passo 2
Escolha do método (por que usar este método):
Um plano dado por equação cartesiana tem um vetor normal \mathbf{n} (os coeficientes das variáveis).
Se \beta_1 fosse paralelo a \beta_3, ambos os vetores diretores de \beta_1 seriam ortogonais ao normal \mathbf{n} de \beta_3 (porque qualquer vetor contido no plano é ortogonal ao normal).
Logo, cálculo prático: calcular \mathbf{n} de \beta_3 e fazer produtos escalares \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_1 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2.
Se ambos os produtos forem zero, os planos são paralelos (e aí testar se coincidem substituindo o ponto em \beta_3); se algum produto for diferente de zero, os planos não são paralelos e portanto se cortam numa reta.
Passo 3
Achar o vetor normal de \beta_3.
Da equação -2x+2y+3z-1=0 obtemos o vetor normal
\mathbf{n}=(-2,\,2,\,3).
Passo 4
Calcular produtos escalares com os vetores diretores de \beta_1.
Os vetores diretores são \mathbf{v}_1=(-1,1,-2) e \mathbf{v}_2=(1,-1,3).
Como \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_1 = -2 \neq 0 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2 = 5 \neq 0, nem \mathbf{v}_1 nem \mathbf{v}_2 são ortogonais a \mathbf{n}. Portanto os planos não são paralelos; consequência: os planos se intersectam ao longo de uma reta.
Passo 5
(Como bônus didático: encontrar explicitamente a reta de interseção — útil na prova.)
Escrevemos as coordenadas de \beta_1 em função de a,b:
(verificação rápida: para s=0 o ponto (-4,7,-7) satisfaz -2x+2y+3z-1=0: 8+14-21-1=0.)
Passo 6
Conclusão final: como os produtos escalares com o normal não são nulos, os planos não são paralelos; portanto são secantes e se intersectam em uma reta, que acabamos de calcular.
Resposta
Os planos são secantes (interseção numa reta).\text{Reta de interseção: }(x,y,z)=(-4,7,-7)+s(-3,3,-4),\;s\in\mathbb{R}.çã