Considere os planos definidos abaixo:
\beta 1:(x, y, z)=(1,2,3)+a(-1,1,-2)+b(1,-1,3)
\beta 2:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 c+4 d \\\ y=1-2 c-4 d \\\ z=8+4 c+12 d\end{array}\right.
\beta 3:-2 x+2 y+3 z-1=0
Determine a posição relativa entre:
\beta 1 e \beta 3

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a posição relativa entre os planos \beta_1 e \beta_3.
Informações dadas:
\beta_1:(x,y,z)=(1,2,3)+a(-1,1,-2)+b(1,-1,3),\quad a,b\in\mathbb{R}
\beta_3:-2x+2y+3z-1=0.
Aqui temos: um plano \beta_1 dado de forma paramétrica por um ponto P_0=(1,2,3) e dois vetores diretores \mathbf{v}_1=(-1,1,-2) e \mathbf{v}_2=(1,-1,3); e um plano \beta_3 dado por uma equação cartesiana linear.

Passo 2

Escolha do método (por que usar este método):
  • Um plano dado por equação cartesiana tem um vetor normal \mathbf{n} (os coeficientes das variáveis).
  • Se \beta_1 fosse paralelo a \beta_3, ambos os vetores diretores de \beta_1 seriam ortogonais ao normal \mathbf{n} de \beta_3 (porque qualquer vetor contido no plano é ortogonal ao normal).
  • Logo, cálculo prático: calcular \mathbf{n} de \beta_3 e fazer produtos escalares \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_1 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2.
  • Se ambos os produtos forem zero, os planos são paralelos (e aí testar se coincidem substituindo o ponto em \beta_3); se algum produto for diferente de zero, os planos não são paralelos e portanto se cortam numa reta.

Passo 3

Achar o vetor normal de \beta_3.
Da equação -2x+2y+3z-1=0 obtemos o vetor normal
\mathbf{n}=(-2,\,2,\,3).

Passo 4

Calcular produtos escalares com os vetores diretores de \beta_1.
Os vetores diretores são \mathbf{v}_1=(-1,1,-2) e \mathbf{v}_2=(1,-1,3).
Calculemos \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_1:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_1 = (-2)\cdot(-1) + 2\cdot 1 + 3\cdot(-2) = 2 + 2 -6 = -2.
Calculemos \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2 = (-2)\cdot 1 + 2\cdot(-1) + 3\cdot 3 = -2 -2 +9 = 5.
Como \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_1 = -2 \neq 0 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2 = 5 \neq 0, nem \mathbf{v}_1 nem \mathbf{v}_2 são ortogonais a \mathbf{n}. Portanto os planos não são paralelos; consequência: os planos se intersectam ao longo de uma reta.

Passo 5

(Como bônus didático: encontrar explicitamente a reta de interseção — útil na prova.)
Escrevemos as coordenadas de \beta_1 em função de a,b:
x=1-a+b,\qquad y=2+a-b,\qquad z=3-2a+3b.
Substituímos na equação de \beta_3:
-2(1-a+b)+2(2+a-b)+3(3-2a+3b)-1=0.
Desenvolvendo termos:
-2+2a-2b +4+2a-2b +9-6a+9b -1=0.
Agrupando:
(-2+4+9-1) + (2a+2a-6a) + (-2b-2b+9b)=0
10 -2a +5b = 0.
Assim obtemos a relação entre a e b:
-2a +5b +10=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2a -5b =10.
Vamos parametrizar a reta tomando b=2s (escolha para evitar frações). Então
a=5+5s.
Substituindo em (x,y,z):
x=1-a+b = 1-(5+5s)+2s = -4-3s,
y=2+a-b = 2+(5+5s)-2s = 7+3s,
z=3-2a+3b = 3-2(5+5s)+3(2s) = -7-4s.
Logo a reta de interseção é
(x,y,z)=(-4,7,-7)+s(-3,3,-4),\qquad s\in\mathbb{R}.
(verificação rápida: para s=0 o ponto (-4,7,-7) satisfaz -2x+2y+3z-1=0: 8+14-21-1=0.)

Passo 6

Conclusão final: como os produtos escalares com o normal não são nulos, os planos não são paralelos; portanto são secantes e se intersectam em uma reta, que acabamos de calcular.

Resposta

Os planos são secantes (interseção numa reta). \text{Reta de interseção: }(x,y,z)=(-4,7,-7)+s(-3,3,-4),\;s\in\mathbb{R}.çã

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