Seja
o plano de equação geral
, e
.
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache o ponto
mais próximo a
.
Assinale a soma das coordenadas de
.
Escolha uma opção:
2
3
A resposta correta é:
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache o ponto
Assinale a soma das coordenadas de
Passo 1
O enunciado dá o plano
e o ponto
:
Pede para, usando o método dos multiplicadores de Lagrange, achar o ponto
mais próximo de
e então informar a soma das coordenadas de
. Vou encontrar
que minimiza a distância de
sob a restrição de estar em
.
Passo 2
Primeiro ideia prática: em vez de minimizar a distância
podemos minimizar o quadrado da distância, porque a raiz é monotônica positiva. Isso evita trabalhar com raiz. Definimos a função objetivo
e a restrição (função que deve ser zero)
O método de Lagrange diz que no ponto de mínimo sujeito à restrição temos
onde
é o multiplicador de Lagrange. Vou explicar o que são esses gradientes e por que usamos:
é o vetor das derivadas parciais de
, ele aponta na direção de maior crescimento de
. No mínimo sujeito à superfície
, esse vetor precisa ser paralelo ao vetor normal da superfície
, por isso existe
tal que a igualdade acontece.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
(cada componente do gradiente):
E o gradiente de
é o vetor das derivadas parciais de
:
pois
,
,
.
Passo 4
Aplicando a condição
componente a componente obtemos o sistema
Simplificando cada equação dividindo por
quando possível:
Passo 5
Isolamos
em função de
:
Agora substituímos essas expressões na restrição
, isto é na equação do plano
.
Passo 6
Substituindo:
Calculemos passo a passo: os termos constantes somam
. Os termos com
são
. Logo
Isolando
:
Passo 7
Com
voltamos às expressões para
:
Esse é o ponto
. (Podemos checar rapidamente que ele satisfaz
se somarmos
, está correto.)
Passo 8
A soma das coordenadas de
é