Seja Q o plano de equação geral 2 x+2 y+z=8, e \mathrm{p}=(1,2,3).
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache o ponto q \in Q mais próximo a p.
Assinale a soma das coordenadas de q.
Escolha uma opção:
\bigcirc \frac{11}{7}
\bigcirc 2
\bigcirc 3
\bigcirc \frac{2}{17}
\bigcirc -1
\bigcirc -\frac{8}{3}
\bigcirc \frac{8}{9}
\bigcirc \frac{49}{9}
A resposta correta é: \frac{49}{9}

Passo 1

O enunciado dá o plano Q e o ponto \mathrm{p}:
Q:\;2x+2y+z=8,
\mathrm{p}=(1,2,3).
Pede para, usando o método dos multiplicadores de Lagrange, achar o ponto q\in Q mais próximo de \mathrm{p} e então informar a soma das coordenadas de q. Vou encontrar q=(x,y,z) que minimiza a distância de \mathrm{p} sob a restrição de estar em Q.

Passo 2

Primeiro ideia prática: em vez de minimizar a distância d=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2} podemos minimizar o quadrado da distância, porque a raiz é monotônica positiva. Isso evita trabalhar com raiz. Definimos a função objetivo
f(x,y,z)=(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2,
e a restrição (função que deve ser zero)
g(x,y,z)=2x+2y+z-8=0.
O método de Lagrange diz que no ponto de mínimo sujeito à restrição temos
\nabla f=\lambda\,\nabla g,
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. Vou explicar o que são esses gradientes e por que usamos: \nabla f é o vetor das derivadas parciais de f, ele aponta na direção de maior crescimento de f. No mínimo sujeito à superfície g=0, esse vetor precisa ser paralelo ao vetor normal da superfície \nabla g, por isso existe \lambda tal que a igualdade acontece.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f (cada componente do gradiente):
\frac{\partial f}{\partial x}=2(x-1),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2(y-2),\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=2(z-3).
E o gradiente de g é o vetor das derivadas parciais de g:
\nabla g=(2,2,1),
pois \frac{\partial g}{\partial x}=2, \frac{\partial g}{\partial y}=2, \frac{\partial g}{\partial z}=1.

Passo 4

Aplicando a condição \nabla f=\lambda\,\nabla g componente a componente obtemos o sistema
2(x-1)=\lambda\cdot 2,
2(y-2)=\lambda\cdot 2,
2(z-3)=\lambda\cdot 1.
Simplificando cada equação dividindo por 2 quando possível:
x-1=\lambda,
y-2=\lambda,
2(z-3)=\lambda.

Passo 5

Isolamos x,y,z em função de \lambda:
x=1+\lambda,
y=2+\lambda,
z=3+\frac{\lambda}{2}.
Agora substituímos essas expressões na restrição g(x,y,z)=0, isto é na equação do plano 2x+2y+z=8.

Passo 6

Substituindo:
2(1+\lambda)+2(2+\lambda)+\left(3+\frac{\lambda}{2}\right)=8.
Calculemos passo a passo: os termos constantes somam 2+4+3=9. Os termos com \lambda são 2\lambda+2\lambda+\frac{\lambda}{2}=\frac{9\lambda}{2}. Logo
9+\frac{9\lambda}{2}=8.
Isolando \lambda:
\frac{9\lambda}{2}=8-9=-1,
\lambda=-\frac{2}{9}.

Passo 7

Com \lambda=-\frac{2}{9} voltamos às expressões para x,y,z:
x=1+\lambda=1-\frac{2}{9}=\frac{9-2}{9}=\frac{7}{9},
y=2+\lambda=2-\frac{2}{9}=\frac{18-2}{9}=\frac{16}{9},
z=3+\frac{\lambda}{2}=3-\frac{1}{9}=\frac{27-1}{9}=\frac{26}{9}.
Esse é o ponto q=\left(\frac{7}{9},\frac{16}{9},\frac{26}{9}\right). (Podemos checar rapidamente que ele satisfaz 2x+2y+z=8 se somarmos 2\cdot\frac{7}{9}+2\cdot\frac{16}{9}+\frac{26}{9}=\frac{14+32+26}{9}=\frac{72}{9}=8, está correto.)

Passo 8

A soma das coordenadas de q é
\frac{7}{9}+\frac{16}{9}+\frac{26}{9}=\frac{7+16+26}{9}=\frac{49}{9}.

Resposta

\dfrac{49}{9}

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