Seja um plano \pi de equação 2 x-y+3 z-5=0. Determine o ponto do plano \pi que tem ordenada 3 e cota 2 .

Passo 1

O enunciado dá o plano \pi de equação
2x - y + 3z - 5 = 0
As informações relevantes que o enunciado fornece são:
  • ordenada igual a 3, ou seja y = 3;
  • cota igual a 2, ou seja z = 2.
    A pergunta é: determinar o ponto do plano \pi que tem essas coordenadas y e z. Em outras palavras, encontrar a coordenada x tal que o ponto (x,y,z) pertença a \pi com y=3 e z=2.

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática): uma equação de plano na forma
ax+by+cz+d=0
é uma equação linear que relaciona as três coordenadas (x,y,z) de qualquer ponto do plano. Aqui a, b, c são os coeficientes que definem a orientação do plano e d é o termo independente. Para verificar se um ponto (x,y,z) pertence ao plano, basta substituir as coordenadas na equação; se a igualdade for satisfeita, o ponto pertence ao plano.
Estratégia prática para esta questão: como já conhecemos y e z, substituímos y=3 e z=2 na equação do plano e resolvemos a equação linear resultante para x. Observação importante: isso só dá um valor único de x se o coeficiente de x na equação for diferente de zero. No nosso caso o coeficiente de x é 2, que é diferente de zero, logo esperamos uma solução única para x.

Passo 3

Substituímos y=3 e z=2 na equação do plano:
2x - 3 + 3\cdot 2 - 5 = 0
Agora fazemos as contas passo a passo: 3\cdot 2 = 6, então
2x - 3 + 6 - 5 = 0.
Somando os termos constantes: -3 + 6 - 5 = -2. Portanto obtemos
2x - 2 = 0.
Isolando x:
2x = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 1.

Passo 4

Verificação (sempre bom checar na prova): substituir (x,y,z)=(1,3,2) na equação do plano:
2\cdot 1 - 3 + 3\cdot 2 - 5 = 2 - 3 + 6 - 5 = 0.
Como a igualdade se confirma, o ponto realmente pertence ao plano. Também confirmamos que a solução é única porque o coeficiente de x era 2\neq 0.

Passo 5

Resumo da técnica usada (dica para a prova): quando pedirem um ponto de um plano e derem duas coordenadas, substitua essas coordenadas na equação do plano e resolva a equação linear obtida para a coordenada restante. Se o coeficiente da incógnita for zero, aí sim pode ocorrer ausência ou infinidade de soluções e você terá que analisar o caso separadamente.

Resposta

(1,3,2)

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