Seja um plano \pi de equação 2 x-y+3 z-5=0. Determine Um vetor normal (ortogonal) ao plano \pi

Passo 1

O enunciado dá o plano \pi de equação 2x - y + 3z - 5 = 0 e pede para determinar um vetor normal (ortogonal) ao plano \pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação do plano é \;2x - y + 3z - 5 = 0\;.
  • Os coeficientes da parte linear são \;2,\;-1,\;3\;.
  • A tarefa é encontrar um vetor que seja perpendicular a todo vetor que pertença ao plano.

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): quando um plano é dado pela equação geral
ax + by + cz + d = 0,
os coeficientes \;a,\;b,\;c\; formam um vetor \vec{n} = (a,b,c) que é ortogonal ao plano. Por que isso acontece? Vou mostrar passo a passo.
Sejam P_0(x_0,y_0,z_0) e P_1(x_1,y_1,z_1) dois pontos quaisquer do plano, então ambos satisfazem a equação:
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 0
a x_1 + b y_1 + c z_1 + d = 0.
Subtraindo as duas equações obtemos
a(x_1-x_0) + b(y_1-y_0) + c(z_1-z_0) = 0.
O lado esquerdo é exatamente o produto escalar entre o vetor normal \vec{n}=(a,b,c) e o vetor de direção \overrightarrow{P_0P_1}=(x_1-x_0,\;y_1-y_0,\;z_1-z_0). Como o produto escalar é zero, isso significa que \vec{n} é ortogonal a qualquer vetor tangente ao plano, logo \vec{n} é normal ao plano.
Lembrando: o produto escalar de dois vetores (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3) é
(u_1,u_2,u_3)\cdot(v_1,v_2,v_3)=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Se o produto escalar for 0, os vetores são ortogonais.

Passo 3

Aplicando ao nosso plano: os coeficientes lineares são \;a=2,\;b=-1,\;c=3\;. Portanto o vetor
\vec{n} = (2,\,-1,\;3)
é um vetor normal ao plano \pi.

Passo 4

Verificação explícita (pra você confiar e praticar): escolhemos dois pontos do plano e mostramos que o vetor entre eles é ortogonal a \vec{n}.
Escolho o ponto A(1,0,1). Verifico na equação:
2\cdot 1 - 0 + 3\cdot 1 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0,
logo A está no plano.
Escolho o ponto C(0,-5,0). Verifico:
2\cdot 0 - (-5) + 3\cdot 0 - 5 = 5 - 5 = 0,
logo C também está no plano.
O vetor \overrightarrow{AC} = C - A = (-1,\,-5,\,-1). Agora o produto escalar com \vec{n} é
(2,-1,3)\cdot(-1,-5,-1)=2\cdot(-1)+(-1)\cdot(-5)+3\cdot(-1)=-2+5-3=0.
Como o produto escalar é zero, \vec{n}=(2,-1,3) é realmente ortogonal ao vetor \overrightarrow{AC}. Como A e C eram pontos arbitrários do plano, isso confirma que \vec{n} é normal ao plano.
Também é importante saber: qualquer múltiplo escalar \;k(2,-1,3)\; com k\neq 0 é também um vetor normal ao plano (por exemplo (4,-2,6), (-2,1,-3), etc.).

Resposta

(2,-1,3)

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