Seja um plano
de equação
. Determine O valor de
para que o plano
seja paralelo ao plano
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede que a constante
seja escolhida de modo que o plano
seja paralelo ao plano
.
Informações fornecidas:
O que é pedido:
- Determinar o valor de
tal que seja paralelo a .
Passo 2
Entender o que significa “planos paralelos” em termos algébricos (aqui eu explico devagarzinho como pensar nisso).
Todo plano na forma
tem um vetor normal
. Esse vetor normal é perpendicular ao plano e determina sua “orientação” no espaço. Dois planos são paralelos quando suas orientações são iguais, ou seja, quando os vetores normais são paralelos (um é múltiplo escalar do outro).
Então, para que
seja paralelo a
precisamos que os vetores normais sejam proporcionais.
Passo 3
Extrair explicitamente os vetores normais dos planos dados.
Para
o vetor normal é
porque os coeficientes de
em
são
.
Para
o vetor normal é
porque os coeficientes de
em
são
.
Passo 4
Aplicar a condição de paralelismo dos vetores normais: existe um escalar
tal que
Escrevendo componente a componente isso dá:
Passo 5
Determinar
a partir das componentes fáceis e verificar consistência.
Da segunda equação temos
Da terceira equação temos
As duas dão o mesmo
, então são consistentes — bom sinal.
Passo 6
Agora usar
na primeira equação para achar
:
Passo 7
Verificação final (sempre bom checar): com
temos
. Esse vetor é exatamente
vezes
, então os normais são paralelos e, portanto, os planos são paralelos. Não precisamos que os termos independentes (
e
) sejam proporcionais; isso só importaria se quiséssemos que os planos coincidissem (ou seja, fossem o mesmo plano). Aqui o pedido foi apenas paralelismo, então
é correto.