Seja um plano \pi de equação 2 x-y+3 z-5=0. Determine O valor de m para que o plano \beta: m x-3 y+9 z-8=0 seja paralelo ao plano \pi

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede que a constante m seja escolhida de modo que o plano \beta seja paralelo ao plano \pi.
Informações fornecidas:
\pi: 2x - y + 3z - 5 = 0
\beta: m x - 3y + 9z - 8 = 0
O que é pedido:
  • Determinar o valor de m tal que \beta seja paralelo a \pi.

Passo 2

Entender o que significa “planos paralelos” em termos algébricos (aqui eu explico devagarzinho como pensar nisso).
Todo plano na forma ax+by+cz+d=0 tem um vetor normal (a,b,c). Esse vetor normal é perpendicular ao plano e determina sua “orientação” no espaço. Dois planos são paralelos quando suas orientações são iguais, ou seja, quando os vetores normais são paralelos (um é múltiplo escalar do outro).
Então, para que \beta seja paralelo a \pi precisamos que os vetores normais sejam proporcionais.

Passo 3

Extrair explicitamente os vetores normais dos planos dados.
Para \pi o vetor normal é
\mathbf{n}_\pi = (2,\,-1,\,3),
porque os coeficientes de x,y,z em 2x-y+3z-5=0 são 2,-1,3.
Para \beta o vetor normal é
\mathbf{n}_\beta = (m,\,-3,\,9),
porque os coeficientes de x,y,z em m x-3y+9z-8=0 são m,-3,9.

Passo 4

Aplicar a condição de paralelismo dos vetores normais: existe um escalar k tal que
\mathbf{n}_\beta = k\,\mathbf{n}_\pi.
Escrevendo componente a componente isso dá:
m = 2k,\qquad -3 = -1\cdot k,\qquad 9 = 3\cdot k.

Passo 5

Determinar k a partir das componentes fáceis e verificar consistência.
Da segunda equação temos
-3 = -1\cdot k \implies k = 3.
Da terceira equação temos
9 = 3\cdot k \implies k = 3.
As duas dão o mesmo k=3, então são consistentes — bom sinal.

Passo 6

Agora usar k=3 na primeira equação para achar m:
m = 2k = 2\cdot 3 = 6.

Passo 7

Verificação final (sempre bom checar): com m=6 temos \mathbf{n}_\beta=(6,-3,9). Esse vetor é exatamente 3 vezes \mathbf{n}_\pi=(2,-1,3), então os normais são paralelos e, portanto, os planos são paralelos. Não precisamos que os termos independentes ( -5 e -8) sejam proporcionais; isso só importaria se quiséssemos que os planos coincidissem (ou seja, fossem o mesmo plano). Aqui o pedido foi apenas paralelismo, então m=6 é correto.

Resposta

m=6

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