Seja o polinômio P(x)=x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0, em que an-1, an-2, ldots, a1 e a0 são constantes reais. Calcule lim x +infty P(x) e lim x -infty P(x)

Passo 1

Então, pessoal, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um polinômio $ P(x) = x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} $, onde os coeficientes $ a_{n-1}, a_{n-2}, ···, a_{1} $ e $ a_{0} $ são números reais. A tarefa aqui é calcular o limite desse polinômio quando $ x $ tende a mais infinito ($ +\infty $) e quando $ x $ tende a menos infinito ($ -\infty $). Para resolver isso, vamos precisar entender como os polinômios se comportam quando $ x $ fica muito grande ou muito pequeno, ou seja, quando $ x $ vai para $ \pm\infty $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em um polinômio, o termo de maior grau (o termo com o maior expoente de $ x $) é o que mais influencia o comportamento do polinômio quando $ x $ cresce muito ou fica muito negativo. Nesse caso, o termo de maior grau é $ x^{n} $.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de $ P(x) $ quando $ x $ tende a $ +\infty $. Como $ x $ está ficando muito grande positivo, o termo $ x^{n} $ vai dominar todos os outros termos do polinômio. Se $ n $ for par, $ x^{n} $ será sempre positivo e vai para $ +\infty $. Se $ n $ for ímpar, $ x^{n} $ também vai para $ +\infty $ quando $ x $ tende a $ +\infty $.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando $ x $ tende a $ -\infty $. Se $ n $ for par, mesmo que $ x $ seja negativo, $ x^{n} $ ficará positivo e vai para $ +\infty $. Mas se $ n $ for ímpar, $ x^{n} $ vai manter o sinal negativo e, portanto, vai para $ -\infty $.

Passo 5

Resumindo:
  • Se $ n $ for par:
    • $ \lim_{x \rightarrow +\infty} P(x) = +\infty $
    • $ \lim_{x \rightarrow -\infty} P(x) = +\infty $
  • Se $ n $ for ímpar:
    • $ \lim_{x \rightarrow +\infty} P(x) = +\infty $
    • $ \lim_{x \rightarrow -\infty} P(x) = -\infty $

Resposta

Portanto, o limite de $ P(x) $ quando $ x $ tende a $ +\infty $ é $ +\infty $ e:
  • Se $ n $ for par, o limite quando $ x $ tende a $ -\infty $ também é $ +\infty $.
  • Se $ n $ for ímpar, o limite quando $ x $ tende a $ -\infty $ é $ -\infty $.

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