Mostre que a função
definida por
não é contínua.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para mostrar que a função
definida por
não é contínua. O conteúdo envolvido aqui é a continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e aplicar essa definição à função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto. Formalmente,
Isso significa que, para qualquer sequência de números que se aproxima de
, os valores de
devem se aproximar de
.
Passo 3
Vamos escolher um ponto específico para examinar a continuidade da função
. Vamos analisar o ponto
. Isso nos ajudará a entender melhor se a função é contínua nesse ponto.
Passo 4
Para verificar a continuidade em
, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e comparar com
.
Sabemos que
depende se
é racional ou irracional. Como
é um número racional (
), temos:
Agora, vamos calcular o limite:
Passo 5
Para calcular esse limite, consideramos duas sequências que se aproximam de
:
- Sequência de números racionais: Por exemplo,
, onde é um número inteiro positivo. Como é racional, .
- Sequência de números irracionais: Por exemplo,
, onde é um número inteiro positivo. Como é irracional, .
Passo 6
Observamos que as duas sequências que se aproximam de
têm limites diferentes:
- A sequência de racionais tende a
. - A sequência de irracionais tende a
.
Como os limites são diferentes, o limite geral
não existe. Portanto, não podemos afirmar que:
Resposta
A função
não é contínua em
porque o limite quando
se aproxima de
não coincide com
. Assim,
não é uma função contínua.