Mostre que a função psi: R R definida por
psi(x)=l 0, se x in Q 1, se x in R-Q
não é contínua.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que pede para mostrar que a função psi: R R definida por
psi(x)=ll 0, & se x in Q 1, & se x in R setminus Q
não é contínua. O conteúdo envolvido aqui é a continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e aplicar essa definição à função psi.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função f é contínua em um ponto x0 se o limite de f(x) quando x se aproxima de x0 é igual ao valor da função nesse ponto. Formalmente,
limx to x0 f(x) = f(x0)
Isso significa que, para qualquer sequência de números que se aproxima de x0, os valores de f(x) devem se aproximar de f(x0).

Passo 3

Vamos escolher um ponto específico para examinar a continuidade da função psi. Vamos analisar o ponto x0 = 0. Isso nos ajudará a entender melhor se a função é contínua nesse ponto.

Passo 4

Para verificar a continuidade em x0 = 0, precisamos calcular o limite de psi(x) quando x se aproxima de 0 e comparar com psi(0).
Sabemos que psi(0) depende se 0 é racional ou irracional. Como 0 é um número racional ( 0 in Q), temos:
psi(0) = 0
Agora, vamos calcular o limite:
limx to 0 psi(x)

Passo 5

Para calcular esse limite, consideramos duas sequências que se aproximam de 0:
  1. Sequência de números racionais: Por exemplo, xn = 1n, onde n é um número inteiro positivo. Como xn é racional, psi(xn) = 0.
limn to infty psi(1n) = 0
  1. Sequência de números irracionais: Por exemplo, xn = raiz2n, onde n é um número inteiro positivo. Como xn é irracional, psi(xn) = 1.
limn to infty psi(raiz2n) = 1

Passo 6

Observamos que as duas sequências que se aproximam de 0 têm limites diferentes:
  • A sequência de racionais tende a 0.
  • A sequência de irracionais tende a 1.
Como os limites são diferentes, o limite geral limx to 0 psi(x) não existe. Portanto, não podemos afirmar que:
limx to 0 psi(x) = psi(0)

Resposta

A função psi não é contínua em x0 = 0 porque o limite quando x se aproxima de 0 não coincide com psi(0). Assim, psi não é uma função contínua.

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