Sejam
Calcule
em função de
.
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B.
C.
D.
E.
Passo 1
O enunciado dá as relações
e
A pergunta é: calcular
em função de
e
.
Informações relevantes: as expressões de e
em termos de
são fornecidas; a função
está em termos de
e
. Queremos a derivada parcial de
em relação a
, assumindo que
é tratado como constante.
Informações relevantes: as expressões de
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar: quando
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, a derivada parcial de
em relação a
(com
fixo) é dada pela regra da cadeia para derivadas parciais:
Explicando de forma simples: alterações em
mudam
e
; cada mudança em
e
contribui para a mudança em
; somamos essas contribuições ponderadas pelas taxas
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas de
e
em relação a
, lembrando que
é constante:
Comentário:
é constante ao derivar em relação a
, por isso some zero.
Passo 4
Agora calculemos
e
tratando
e
como variáveis independentes. Compondo
com
, usamos a derivada de
, que é
vezes a derivada de
:
Explicação curta:
porque
é tratado como constante ao derivar em
, e simetricamente para
.
Passo 5
Substituímos tudo na regra da cadeia:
Colocando em fator comum
:
Comentário: fizemos fatoração e simplificação simples de soma de frações com mesmo denominador.
Passo 6
Finalmente substituímos
e
na expressão anterior e simplificamos o numerador:
O denominador fica
Portanto a expressão final (em termos de
) é