Sejam
\begin{gathered} x=x(s, t)=s-t, \quad y=y(s, t)=s^{2}+t, \\\ z=\ln (1+x y) . \end{gathered}
Calcule \frac{\partial z}{\partial t} em função de s, t.
A. \frac{s^{2}-s+2 t}{1+(s-t)\left(s^{2}+t\right)}
B. \frac{s^{2}+s+2 t}{1+(s-t)\left(s^{2}+t\right)}
C. \frac{-s^{2}+s-2 t}{1+s^{2}+t(s-t)}
D. \frac{s^{2}-s-2 t}{1+s^{2}+t(s-t)}
E. \frac{-s^{2}+s-2 t}{1+(s-t)\left(s^{2}+t\right)}

Passo 1

O enunciado dá as relações
x = x(s,t) = s - t,\qquad y = y(s,t) = s^{2} + t,
e
z = \ln\bigl(1 + x y\bigr).
A pergunta é: calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} em função de s e t.
Informações relevantes: as expressões de x e y em termos de s,t são fornecidas; a função z está em termos de x e y. Queremos a derivada parcial de z em relação a t, assumindo que s é tratado como constante.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar: quando z depende de x e y, que por sua vez dependem de s e t, a derivada parcial de z em relação a t (com s fixo) é dada pela regra da cadeia para derivadas parciais:
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicando de forma simples: alterações em t mudam x e y; cada mudança em x e y contribui para a mudança em z; somamos essas contribuições ponderadas pelas taxas \partial z/\partial x e \partial z/\partial y.

Passo 3

Calculemos as derivadas de x e y em relação a t, lembrando que s é constante:
\frac{\partial x}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(s - t) = -1,
\frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(s^{2} + t) = 1.
Comentário: s^{2} é constante ao derivar em relação a t, por isso some zero.

Passo 4

Agora calculemos \partial z/\partial x e \partial z/\partial y tratando x e y como variáveis independentes. Compondo z(u)=\ln(u) com u(x,y)=1+xy, usamos a derivada de \ln(u), que é 1/u vezes a derivada de u:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1+xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(1+xy) = \frac{1}{1+xy}\cdot y = \frac{y}{1+xy},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1+xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(1+xy) = \frac{1}{1+xy}\cdot x = \frac{x}{1+xy}.
Explicação curta: \partial(1+xy)/\partial x = y porque y é tratado como constante ao derivar em x, e simetricamente para \partial/\partial y.

Passo 5

Substituímos tudo na regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t} = \frac{y}{1+xy}\cdot(-1) + \frac{x}{1+xy}\cdot(1).
Colocando em fator comum \displaystyle \frac{1}{1+xy}:
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{-y + x}{1+xy} = \frac{x - y}{1+xy}.
Comentário: fizemos fatoração e simplificação simples de soma de frações com mesmo denominador.

Passo 6

Finalmente substituímos x = s - t e y = s^{2} + t na expressão anterior e simplificamos o numerador:
x - y = (s - t) - (s^{2} + t) = s - t - s^{2} - t = -s^{2} + s - 2t.
O denominador fica
1 + x y = 1 + (s - t)\bigl(s^{2} + t\bigr).
Portanto a expressão final (em termos de s,t) é
\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{-s^{2}+s-2t}{1+(s-t)\left(s^{2}+t\right)}.

Resposta

\displaystyle \frac{-s^{2}+s-2t}{1+(s-t)\left(s^{2}+t\right)}

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