Seja um ponto de massa m abandonado próximo ao mínimo da seguinte energia potencial: U(x)=x^4-2 x^2-10
Calcular a frequência angular se a massa for de 5 kg .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para calcular a frequência angular de uma massa de 5 kg que foi soltada perto do mínimo da energia potencial dada por $ U(x) = x^{4} - 2x^{2} - 10 $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física mecânica, especialmente o conceito de oscilações pequenas e como elas se relacionam com a energia potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto de equilíbrio, ou seja, o valor de $ x $ onde a massa vai ficar parada se não for perturbada. Isso acontece onde a derivada da energia potencial em relação a $ x $ é zero. Vamos calcular:
x
Igualando a zero para encontrar o ponto de equilíbrio:
x
Portanto, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = \pm1 $.

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual desses pontos é realmente um mínimo (onde a massa ficará estável) e qual é um máximo (ponto instável). Para isso, vemos a segunda derivada da energia potencial:
d^2Udx^2 = 12x^2 - 4
Vamos avaliar nos pontos encontrados:
  • Para $ x = 0 $:
x = 0
Um valor negativo indica que $ x = 0 $ é um ponto de máximo, não de mínimo.
  • Para $ x = \pm1 $:
d^2Udx^2 = 12(0)^2 - 4 = -4
Um valor positivo indica que $ x = \pm1 $ são pontos de mínimo. Vamos escolher $ x = 1 $ para prosseguir (o resultado será o mesmo para $ x = -1 $).

Passo 4

Com o ponto de equilíbrio $ x = 1 $ identificado, podemos aproximar a energia potencial perto desse ponto como uma função harmônica:
x = 1
Aqui, $ U’’(x_0) = 8 $. A frequência angular $ \omega $ para oscilações pequenas é dada por:
U(x) approx U(x0) + 12 U''(x0) (x - x0)^2

Resposta

A frequência angular da massa é aproximadamente $ 1{,}26 , rad/s $.

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