Seja um ponto de massa m abandonado próximo ao mínimo da seguinte energia potencial:
Calcular a frequência angular se a massa for de 5 kg .
Calcular a frequência angular se a massa for de 5 kg .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para calcular a frequência angular de uma massa de 5 kg que foi soltada perto do mínimo da energia potencial dada por $ U(x) = x^{4} - 2x^{2} - 10 $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física mecânica, especialmente o conceito de oscilações pequenas e como elas se relacionam com a energia potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto de equilíbrio, ou seja, o valor de $ x $ onde a massa vai ficar parada se não for perturbada. Isso acontece onde a derivada da energia potencial em relação a $ x $ é zero. Vamos calcular:
Igualando a zero para encontrar o ponto de equilíbrio:
Portanto, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = \pm1 $.
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual desses pontos é realmente um mínimo (onde a massa ficará estável) e qual é um máximo (ponto instável). Para isso, vemos a segunda derivada da energia potencial:
Vamos avaliar nos pontos encontrados:
- Para $ x = 0 $:
Um valor negativo indica que $ x = 0 $ é um ponto de máximo, não de mínimo.
- Para $ x = \pm1 $:
Um valor positivo indica que $ x = \pm1 $ são pontos de mínimo. Vamos escolher $ x = 1 $ para prosseguir (o resultado será o mesmo para $ x = -1 $).
Passo 4
Com o ponto de equilíbrio $ x = 1 $ identificado, podemos aproximar a energia potencial perto desse ponto como uma função harmônica:
Aqui, $ U’’(x_0) = 8 $. A frequência angular $ \omega $ para oscilações pequenas é dada por:
Resposta
A frequência angular da massa é aproximadamente $ 1{,}26 , rad/s $.