Seja
o ponto médio de um segmento de reta tal que uma extremidade é
. Ache a outra extremidade.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O ponto médio do segmento é
. - Uma extremidade do segmento é
.
O que o problema pede: - Achar a outra extremidade
do segmento (ou seja, encontrar as coordenadas de ).
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do ponto médio, que é uma ferramenta padrão e muito útil nesses problemas. Se
e
, o ponto médio
tem coordenadas dadas por
Explicando cada coisa:
-
é a coordenada da extremidade . -
é a coordenada da extremidade . -
e são as coordenadas desconhecidas da extremidade que queremos achar. - O ponto médio é a média aritmética das coordenadas correspondentes.
Aqui conhecemos
e
, e queremos
. Então aplicamos a fórmula do ponto médio com
,
, e
.
Passo 3
Escrevendo as duas coordenadas do ponto médio como equações (peguei
e
do enunciado):
Essas duas equações vêm diretamente de igualar cada componente da fórmula do ponto médio ao respectivo valor de
.
Passo 4
Vou resolver a primeira equação para
. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora isolando
:
Passo 5
Agora resolvo a segunda equação para
. Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Passo 6
Resumo do que encontramos (valores obtidos nas contas anteriores):
e
.
Dica rápida para a prova: uma forma curta e prática de lembrar é usar a ideia vetorial
. Isso dá direto as coordenadas de
sem montar duas equações separadas. Exemplo simples para treinar: o ponto médio entre
e
é
porque
e
.