Seja (4,5) o ponto médio de um segmento de reta tal que uma extremidade é (-1,2). Ache a outra extremidade.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O ponto médio do segmento é M=(4,5).
  • Uma extremidade do segmento é A=(-1,2).
    O que o problema pede:
  • Achar a outra extremidade B do segmento (ou seja, encontrar as coordenadas de B).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do ponto médio, que é uma ferramenta padrão e muito útil nesses problemas. Se A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B), o ponto médio M tem coordenadas dadas por
M=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right).
Explicando cada coisa:
  • x_A é a coordenada x da extremidade A.
  • y_A é a coordenada y da extremidade A.
  • x_B e y_B são as coordenadas desconhecidas da extremidade B que queremos achar.
  • O ponto médio é a média aritmética das coordenadas correspondentes.
Aqui conhecemos M e A, e queremos B=(x,y). Então aplicamos a fórmula do ponto médio com x_A=-1, y_A=2, e M=(4,5).

Passo 3

Escrevendo as duas coordenadas do ponto médio como equações (peguei M e A do enunciado):
\frac{-1 + x}{2} = 4
\frac{2 + y}{2} = 5
Essas duas equações vêm diretamente de igualar cada componente da fórmula do ponto médio ao respectivo valor de M.

Passo 4

Vou resolver a primeira equação para x. Multiplicando ambos os lados por 2:
-1 + x = 8.
Agora isolando x:
x = 8 + 1 = 9.

Passo 5

Agora resolvo a segunda equação para y. Multiplicando ambos os lados por 2:
2 + y = 10.
Isolando y:
y = 10 - 2 = 8.

Passo 6

Resumo do que encontramos (valores obtidos nas contas anteriores): \;x=9 e \;y=8.
Dica rápida para a prova: uma forma curta e prática de lembrar é usar a ideia vetorial \vec{B}=2\vec{M}-\vec{A}. Isso dá direto as coordenadas de B sem montar duas equações separadas. Exemplo simples para treinar: o ponto médio entre (0,0) e (2,2) é (1,1) porque \dfrac{0+2}{2}=1 e \dfrac{0+2}{2}=1.

Resposta

(9,8)

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