Seja uma população com distribuição Bernoulli de parâmetro p, da qual são tomadas amostras de tamanho n. Mostre que sumi=1^n xi é uma estatística suficiente para p, usando a definição de estatística suficiente.

Passo 1

Beleza, o que o enunciado pede é o seguinte: temos uma população com distribuição Bernoulli de parâmetro T(X)=sumi=1^n Xi e tiramos uma amostra . A tarefa é mostrar que
é estatística suficiente para , usando a definição de estatística suficiente (isto é, a distribuição condicional de dado não pode depender de ). Vamos precisar saber o que é pmf conjunta de variáveis Bernoulli independentes, definir e aplicar a definição de suficiência.

Passo 2

Primeiro, a função massa de probabilidade conjunta das f(x1,dots,xn;p) =prodi=1^n p^xi(1-p)^1-xi = p^sumi=1^n xi,(1-p)^n-sumi=1^n xi é
T(X)=sumi=1^n Xi
Definimos a estatística

Passo 3

Pela definição, vamos calcular
Pl(X=x ,|, T(X)=tr) =Pl(X=x,,T(X)=tr)Pl(T(X)=tr)
Repare que se , e vale quando . Faltou achar .

Passo 4

Para P(T=t) =sumsubstackuin0,1^n sumi ui=t f(u;p) =binomnt,p^t,(1-p)^,n-t , a soma de todas as configurações com P(X=x mid T=t) =p^t(1-p)^n-tbinomnt,p^t(1-p)^n-t =1binomnt, é
Logo, se ,
e se é zero. Note que o sumiu!

Resposta

Como a distribuição condicional sumi=1^n Xi não depende de , concluímos que
é estatística suficiente para .

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