Seja uma população com distribuição Bernoulli de parâmetro , da qual são tomadas amostras de tamanho . Mostre que é uma estatística suficiente para , usando a definição de estatística suficiente.
Passo 1
Beleza, o que o enunciado pede é o seguinte: temos uma população com distribuição Bernoulli de parâmetro e tiramos uma amostra . A tarefa é mostrar que
é estatística suficiente para , usando a definição de estatística suficiente (isto é, a distribuição condicional de dado não pode depender de ). Vamos precisar saber o que é pmf conjunta de variáveis Bernoulli independentes, definir e aplicar a definição de suficiência.
Passo 2
Primeiro, a função massa de probabilidade conjunta das é
Definimos a estatística
Passo 3
Pela definição, vamos calcular
Repare que se , e vale quando . Faltou achar .
Passo 4
Para P(T=t) =sumsubstackuin0,1^n sumi ui=t f(u;p) =binomnt,p^t,(1-p)^,n-t , a soma de todas as configurações com P(X=x mid T=t) =p^t(1-p)^n-tbinomnt,p^t(1-p)^n-t =1binomnt, é
Logo, se ,
e se é zero. Note que o sumiu!
Resposta
Como a distribuição condicional sumi=1^n Xi não depende de , concluímos que