O desvio padrão da vida útil de uma determinada marca de lâmpadas ultravioleta é conhecido como sendo sigma=500 horas, e a vida útil das lâmpadas segue a distribuição normal. A suposição do fabricante é que a vida útil seja de pelo menos 9.000 horas. Uma amostra de 15 lâmpadas foi selecionada e obteve-se uma vida útil média de 8.800 horas. Teste a suposição do fabricante com o nível de significância de 5%, contra a hipótese alternativa de que a vida útil média é menor que 9.000 horas.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A marca diz que as lâmpadas duram, em média, pelo menos 9 000 h. Sabemos que o desvio padrão da vida útil é σ=500 h e a distribuição é normal. Pegamos uma amostra de n=15 lâmpadas e a média amostral saiu \bar x=8 800 h. Queremos testar, ao nível de significância α=5%, se dá pra duvidar dessa média de 9 000 h ou não. O conteúdo aqui é teste de hipóteses para a média de uma normal com σ conhecido, usando o teste-z. Vamos precisar:
  1. Formular H₀ e Hₐ
  2. Calcular a estatística de teste z
  3. Ver qual é a região crítica (valor crítico)
  4. Comparar e tomar decisão

Passo 2

Definindo as hipóteses:
  • H₀ (hipótese nula): μ ≥ 9 000 (a média da vida útil é pelo menos 9 000 h)
  • Hₐ (hipótese alternativa): μ < 9 000 (a média é menor que 9 000 h)
Por que fazemos assim? Porque o fabricante SUPÕE que dure no mínimo 9 000 h, e queremos ver se há indícios de que seja MENOR.

Passo 3

Agora a estatística de teste. Como σ é conhecido e a amostra vem de normal, usamos:
z ;=;bar x - mu0sigma / raizn
Substituindo:
z = 8800 - 9000500/raiz15 =-200500/3,873 =-200129,10approx -1,55
Isso nos diz quantos desvios‐padrão a média amostral está abaixo de 9 000 h.

Passo 4

Como é um teste unilateral à esquerda (buscamos se μ é menor), com α=0,05, o valor crítico z₀ tal que P(Z < z₀)=0,05 é:
zcrit = -1,645
Região crítica: z ≤ -1,645 → rejeitar H₀.

Passo 5

Comparando: nosso z ≈ -1,55 é maior que -1,645 (pois -1,55 > -1,645). Ou seja, não caiu na região crítica. Logo, não temos evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Não rejeitamos H₀. Ao nível de 5%, não há provas de que a vida média das lâmpadas seja menor que 9 000 horas.

Exercícios relacionados