Seja uma população com distribuição Poisson de parâmetro theta, da qual são tomadas amostras de tamanho n. Mostre que sumi=1^n xi é uma estatística suficiente para theta, usando a definição de estatística suficiente.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos uma população seguindo Poisson com parâmetro T(X) = sumi=1^n xi . A gente tira uma amostra de tamanho , ou seja, observações . O que queremos mostrar é que a estatística
é suficiente para .
Conteúdo envolvido: definição de estatística suficiente (aqui em particular a definição que pede “o condicional de dado não depende de ”). Vamos precisar conhecer a função massa de probabilidade (pmf) de Poisson e a pmf da soma de variáveis de Poisson.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a pmf conjunta da amostra. Como cada f(x1,dots,xn;theta) =prodi=1^n e^-theta,theta^xixi! =e^-ntheta,theta^sumi=1^n xiprodi=1^n xi! e são independentes, temos
f(x1,dots,xn;theta) =e^-ntheta,theta^tprodi=1^n xi!
Chamemos . Então a pmf conjunta vale

Passo 3

Agora precisamos da distribuição de Pl(T(X)=tr) =e^-ntheta,(ntheta)^tt! . É sabido (ou dá pra mostrar somando convoluções) que a soma de Poisson( ) é Poisson( ). Logo

Passo 4

Pela definição de estatística suficiente, olhamos a condicional
Pl(X1=x1,dots,Xn=xn mid T(X)=tr) =f(x1,dots,xn;theta)P(T(X)=t)
Substituindo:
e^-ntheta,theta^tprod xi! e^-ntheta,(ntheta)^tt! =theta^tprod xi!;t!(ntheta)^t =t!n^t;prodi=1^n xi!
Repara que, depois de simplificar, não sobrou nenhuma ali!

Resposta

Como a distribuição condicional de dado não depende de , isso mostra que é estatística suficiente para .

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