Seja uma população com distribuição Poisson de parâmetro
, da qual são tomadas amostras de tamanho
. Mostre que
é uma estatística suficiente para
, usando a definição de estatística suficiente.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos uma população seguindo Poisson com parâmetro
. A gente tira uma amostra de tamanho
, ou seja, observações
. O que queremos mostrar é que a estatística
é suficiente para
.
Conteúdo envolvido: definição de estatística suficiente (aqui em particular a definição que pede “o condicional de
dado
não depende de
”). Vamos precisar conhecer a função massa de probabilidade (pmf) de Poisson e a pmf da soma de variáveis de Poisson.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a pmf conjunta da amostra. Como cada
e são independentes, temos
Chamemos
. Então a pmf conjunta vale
Passo 3
Agora precisamos da distribuição de
. É sabido (ou dá pra mostrar somando convoluções) que a soma de
Poisson(
) é Poisson(
). Logo
Passo 4
Pela definição de estatística suficiente, olhamos a condicional
Substituindo:
Repara que, depois de simplificar, não sobrou nenhuma
ali!
Resposta
Como a distribuição condicional de
dado
não depende de
, isso mostra que
é estatística suficiente para
.