Considere que uma variável aleatória X tenha distribuição binomial com parâmetros n (conhecido) e theta (desconhecido).
Mostre que esta distribuição binomial é uma família exponencial.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que, se P(X=x)=binomnx,theta^x,(1-theta)^,n-x , a função massa de probabilidade
pode ser escrita no formato “família exponencial”. O conteúdo aqui é exatamente a definição de família exponencial de um parâmetro, então vamos precisar lembrar como é essa definição e depois ajeitar a pmf binomial pra caber nesse molde.

Passo 2

Definição de família exponencial (uniparamétrica):
Uma pmf/pdf f(x;theta);=;h(x),expl(,eta(theta),T(x);-;A(theta)r) é dita pertencer a uma família exponencial se dá pra escrever
onde
  • não depende de ,
  • é o parâmetro natural,
  • é a estatística suficiente,
  • é a chamada função de normalização.

Passo 3

Vamos escrever a pmf binomial em forma exponencial. Partimos de
P(X=x) =binomnx,theta^x,(1-theta)^n-x
A gente sabe que P(X=x) =binomnx, expl(xlntheta + (n-x)ln(1-theta)r) . Então

Passo 4

Agora vamos separar direitinho em “ P(X=x) =underbracebinomnxh(x) ;exp!l( xlntheta + (n-x)ln(1-theta) r) ”:
xlntheta + (n-x)ln(1-theta) = xln!l(tfractheta1-thetar) + nln(1-theta)
Em seguida, reorganizamos o que está dentro do expoente:

Passo 5

Comparando com a forma da família exponencial
h(x),exp!l(eta(theta),T(x) - A(theta)r),
vemos que:
  • -A(theta)=nln(1-theta) Longrightarrow A(theta)=-nln(1-theta) .
  • .
  • (o parâmetro natural).
  • Para ficar no formato “ ” dentro do expoente, note que temos . Logo escolhemos

Resposta

Portanto, a distribuição binomial
P(X=x)=binomnx,theta^x,(1-theta)^n-x
é uma família exponencial de parâmetro natural
, com estatística suficiente , função base e função de normalização .

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