Considere que uma variável aleatória tenha distribuição binomial com parâmetros (conhecido) e (desconhecido).
Mostre que esta distribuição binomial é uma família exponencial.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que, se , a função massa de probabilidade
pode ser escrita no formato “família exponencial”. O conteúdo aqui é exatamente a definição de família exponencial de um parâmetro, então vamos precisar lembrar como é essa definição e depois ajeitar a pmf binomial pra caber nesse molde.
Passo 2
Definição de família exponencial (uniparamétrica):
Uma pmf/pdf é dita pertencer a uma família exponencial se dá pra escrever
onde
não depende de ,
é o parâmetro natural,
é a estatística suficiente,
é a chamada função de normalização.
Passo 3
Vamos escrever a pmf binomial em forma exponencial. Partimos de
A gente sabe que . Então
Passo 4
Agora vamos separar direitinho em “”:
Em seguida, reorganizamos o que está dentro do expoente: