Seja uma população com distribuição gama com vetor de parâmetros , ou seja:
undersetsimtheta=[llalpha & beta]^prime
da qual são tomadas amostras aleatórias de tamanho f(x mid alpha, beta)=1beta^alpha Gamma(alpha) x^alpha-1 e^-x / beta .
Utilizando o Teorema da Fatoração de Neyman-Fisher, mostre que
n
é um vetor de duas estatísticas conjuntamente suficientes para os elementos de undersetsimT(x)=(sumi=1^n xi, sumi=1^n ln xi) .

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Temos uma população que segue a distribuição Gama com parâmetros f(xmid alpha,beta) =1beta^alpha,Gamma(alpha),x^alpha-1,e^-x/beta e , ou seja
Tiramos observações independentes .
Conteúdo da matéria: Teorema da Fatoração de Neyman–Fisher (suficiência de estatísticas).
O que vamos precisar:
  1. Montar a verossimilhança conjunta .
  2. Escrever essa verossimilhança como produto de duas partes: uma que dependa só da estatística candidata e dos parâmetros, e outra que não dependa de .

Passo 2

Primeiro, a verossimilhança conjunta das L(alpha,beta; x) =prodi=1^n 1beta^alpha,Gamma(alpha),xi^alpha-1,e^-xi/beta observações independentes é o produto dos L(alpha,beta; x) =1beta^nalpha,Gamma(alpha)^n ;l(prodi=1^n xir)^alpha-1 ;expl(-sumi=1^n tfracxibetar) :
Agrupando fatores iguais, fica
E note que
.

Passo 3

Reescrevendo em forma exponencial, temos
L(alpha,beta; x) =1beta^nalpha,Gamma(alpha)^n ;expl((alpha-1)sumi=1^nln xir) ;expl(-tfrac1betasumi=1^n xir)
Agora separamos em duas partes:
  • g — parte que depende só de gl(T( x),,alpha,betar) =1beta^nalpha,Gamma(alpha)^n ;expl((alpha-1)sumi=1^nln xi -tfrac1betasumi=1^n xir) e das duas somas L(alpha,beta; x) = gl(T( x),,alpha,betar),times h( x)
  • h — parte que NÃO depende de (aqui seria simplesmente , ou qualquer função constante em ).
Isso é exatamente a fatoração exigida pelo Teorema de Neyman–Fisher:

Passo 4

Pela fatoração acima, concluímos que toda a informação que T( x) =l(sumi=1^n xi,;sumi=1^nln xir) traz sobre está contida nas estatísticas

Resposta

Portanto, pelo Teorema da Fatoração de Neyman–Fisher,
T( x)=l(sumi=1^n xi,;sumi=1^nln xir)
é vetor de estatísticas conjuntamente suficientes para e .

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