Seja uma população com distribuição gama com vetor de parâmetros , ou seja:
da qual são tomadas amostras aleatórias de tamanho
.
Utilizando o Teorema da Fatoração de Neyman-Fisher, mostre que
é um vetor de duas estatísticas conjuntamente suficientes para os elementos de
.
Utilizando o Teorema da Fatoração de Neyman-Fisher, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Temos uma população que segue a distribuição Gama com parâmetros
e
, ou seja
Tiramos
observações independentes
.
Conteúdo da matéria: Teorema da Fatoração de Neyman–Fisher (suficiência de estatísticas).
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: Teorema da Fatoração de Neyman–Fisher (suficiência de estatísticas).
O que vamos precisar:
- Montar a verossimilhança conjunta
. - Escrever essa verossimilhança como produto de duas partes: uma que dependa só da estatística candidata
e dos parâmetros, e outra que não dependa de .
Passo 2
Primeiro, a verossimilhança conjunta das
observações independentes é o produto dos
:
Agrupando fatores iguais, fica
E note que
.
Passo 3
Reescrevendo em forma exponencial, temos
Agora separamos em duas partes:
- g — parte que depende só de
e das duas somas - h — parte que NÃO depende de
(aqui seria simplesmente , ou qualquer função constante em ).
Isso é exatamente a fatoração exigida pelo Teorema de Neyman–Fisher:
Passo 4
Pela fatoração acima, concluímos que toda a informação que
traz sobre
está contida nas estatísticas
Resposta
Portanto, pelo Teorema da Fatoração de Neyman–Fisher,
é vetor de estatísticas conjuntamente suficientes para
e
.