Seja uma população com distribuição gama com vetor de parâmetros , ou seja:
da qual são tomadas amostras aleatórias de tamanho
.
Obtenha a distribuição de probabilidade das amostras
, ou seja,
.
Obtenha a distribuição de probabilidade das amostras
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é: têm uma população que segue uma distribuição Gama com parâmetros α (forma) e β (escala), ou seja, cada observação
tem densidade
A gente tirou uma amostra independente de tamanho
,
.
O que queremos é a densidade conjunta dessa amostra, ou seja
O que queremos é a densidade conjunta dessa amostra, ou seja
Conteúdo envolvido: teoria de variáveis independentes, produto de densidades e uso da função Gama.
Passo 2
Primeiro, vale lembrar que se
são independentes, a densidade conjunta é o produto das densidades marginais:
Isso vem da definição de independência em probabilidade.
Passo 3
Agora, a gente substitui a densidade Gama de cada
dentro do produto:
Como o fator
não depende de
, ele repete
vezes. Então dá pra juntar:
Passo 4
Agora simplificamos cada produto:
-
-
-
Então a densidade conjunta fica