Seja uma população com distribuição gama com vetor de parâmetros , ou seja:
undersetsimtheta=[llalpha & beta]^prime
da qual são tomadas amostras aleatórias de tamanho f(x mid alpha, beta)=1beta^alpha Gamma(alpha) x^alpha-1 e^-x / beta .
Obtenha a distribuição de probabilidade das amostras n, ou seja, undersetsimX.

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é: têm uma população que segue uma distribuição Gama com parâmetros α (forma) e β (escala), ou seja, cada observação f(ximidalpha,beta) =1beta^alpha,Gamma(alpha),xi^alpha-1,e^-xi/beta, xi>0 tem densidade
f(xmidalpha,beta) ;=;f(x1,x2,dots,xnmidalpha,beta)
A gente tirou uma amostra independente de tamanho , .
O que queremos é a densidade conjunta dessa amostra, ou seja
Conteúdo envolvido: teoria de variáveis independentes, produto de densidades e uso da função Gama.

Passo 2

Primeiro, vale lembrar que se f(x1,dots,xn) =prodi=1^n f(xi) são independentes, a densidade conjunta é o produto das densidades marginais:
Isso vem da definição de independência em probabilidade.

Passo 3

Agora, a gente substitui a densidade Gama de cada f(x1,dots,xnmidalpha,beta) =prodi=1^n 1beta^alpha,Gamma(alpha),xi^alpha-1,e^-xi/beta dentro do produto:
=1l(beta^alpha,Gamma(alpha)r)^n ;prodi=1^n xi^alpha-1; prodi=1^n e^-xi/beta
Como o fator não depende de , ele repete vezes. Então dá pra juntar:

Passo 4

Agora simplificamos cada produto:
  1. f(xmidalpha,beta) =1beta^nalpha,Gamma(alpha)^n ;l(prodi=1^n xir)^alpha-1 ;e^-tfrac1betasumi=1^n xi

  2. Então a densidade conjunta fica

Resposta

boxed f(x1,dots,xnmidalpha,beta) =1beta^nalpha,Gamma(alpha)^n l(prodi=1^n xir)^alpha-1 exp!l(-tfrac1betasumi=1^n xir), xi>0

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