Seja uma população com distribuição Bernoulli de parâmetro theta, da qual são tomadas amostras de tamanho n. Já sabemos que sumi=1^n xi é uma estatística suficiente para theta, utilizando a definição de probabilidade condicional. Mostre agora esse fato utilizando a Fatoração de Neyman-Fisher.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma população Bernoulli(θ) – ou seja, cada variável T(X)=sumi=1^n Xi vale 1 com probabilidade θ e 0 com probabilidade – e tiramos uma amostra de tamanho . A gente já sabe que o total de “sucessos”
é suficiente para θ, mas agora quer mostrar isso usando o Teorema de Fatoração de Neyman–Fisher.
Para resolver, vamos precisar de:
• A definição de estatística suficiente via fatoração;
• A função de massa conjunta (likelihood) da amostra Bernoulli;
• Agrupar os termos de θ de modo a caber no formato g ,h .

Passo 2

Antes de mais nada, o Teorema de Fatoração diz o seguinte (em linguagem simples):
Uma estatística f(x1,dots,xn;theta);=;gl(T(x);thetar);times;h(x1,dots,xn), é suficiente para o parâmetro θ se a função de massa ou densidade conjunta puder ser escrita como
onde depende de e dos dados só por meio de , e não depende de .
Em outras palavras, depois de fatorar, tudo o que envolve θ tem que “passar” por .

Passo 3

Agora, vamos escrever a função de massa conjunta da amostra Bernoulli:
Para cada P(Xi=xi;theta)=theta^xi,(1-theta)^1-xi, xiin0,1 ,
L(theta;x1,dots,xn) =prodi=1^n theta^xi(1-theta)^1-xi =theta^sumi=1^n xi,(1-theta)^sumi=1^n(1-xi)
Como são independentes, a verossimilhança é
L(theta;x) =theta^T(x),(1-theta)^,n-T(x)
Mas gl(T(x);thetar) =theta^T(x),(1-theta)^,n-T(x), h(x1,dots,xn)=1 . Então
Repare que aqui não sobrou mais nada além de e de θ. Podemos então escolher
(ou, se preferir, pode ser o indicador de que cada é 0 ou 1, mas não envolve θ). Isso já é o jeitinho exato que o Teorema de Fatoração pede.

Resposta

Portanto, como a verossimilhança se escreve na forma
boxedT(X)=sumi=1^n Xi é estatística suficiente para theta , onde só “olha” para os dados via
, concluímos que
éí

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