Seja uma população com distribuição Bernoulli de parâmetro
, da qual são tomadas amostras de tamanho
. Já sabemos que
é uma estatística suficiente para
, utilizando a definição de probabilidade condicional. Mostre agora esse fato utilizando a Fatoração de Neyman-Fisher.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma população Bernoulli(θ) – ou seja, cada variável
vale 1 com probabilidade θ e 0 com probabilidade
– e tiramos uma amostra de tamanho
. A gente já sabe que o total de “sucessos”
é suficiente para θ, mas agora quer mostrar isso usando o Teorema de Fatoração de Neyman–Fisher.
Para resolver, vamos precisar de:
• A definição de estatística suficiente via fatoração;
• A função de massa conjunta (likelihood) da amostra Bernoulli;
• Agrupar os termos de θ de modo a caber no formato g ,h
.
Para resolver, vamos precisar de:
• A definição de estatística suficiente via fatoração;
• A função de massa conjunta (likelihood) da amostra Bernoulli;
• Agrupar os termos de θ de modo a caber no formato g
Passo 2
Antes de mais nada, o Teorema de Fatoração diz o seguinte (em linguagem simples):
Uma estatística é suficiente para o parâmetro θ se a função de massa ou densidade conjunta
puder ser escrita como
Uma estatística
onde
depende de
e dos dados só por meio de
, e
não depende de
.
Em outras palavras, depois de fatorar, tudo o que envolve θ tem que “passar” por .
Em outras palavras, depois de fatorar, tudo o que envolve θ tem que “passar” por
Passo 3
Agora, vamos escrever a função de massa conjunta da amostra Bernoulli:
Para cada ,
Para cada
Como são independentes, a verossimilhança é
Mas
. Então
Repare que aqui não sobrou mais nada além de
e de θ. Podemos então escolher
(ou, se preferir,
pode ser o indicador de que cada
é 0 ou 1, mas não envolve θ). Isso já é o jeitinho exato que o Teorema de Fatoração pede.
Resposta
Portanto, como a verossimilhança se escreve na forma
, onde
só “olha” para os dados via
, concluímos que