Seja uma população com distribuição exponencial de parâmetro theta, expressa na forma:
f(x mid theta)=theta e^-theta x
da qual são tomadas amostras de tamanho n. Mostre que sumi=1^n xi é uma estatística suficiente para theta, usando o Teorema da Fatoração de Neyman-Fisher.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão diz que temos uma população que segue a distribuição exponencial com parâmetro f(xmid theta)=theta e^-theta x, , ou seja
T(x)=sumi=1^n xi
e tiramos uma amostra de tamanho : . O que pedem é mostrar que
é uma estatística suficiente para , usando o Teorema da Fatoração de Neyman–Fisher.
Conteúdo principal: estatística suficiente e Teorema da Fatoração. Vamos precisar montar a função de verossimilhança, lembrar o enunciado do Teorema da Fatoração e identificar as partes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a função de verossimilhança (ou densidade conjunta da amostra). Como as observações são independentes e cada uma tem densidade L(theta;x) =prodi=1^n f(ximidtheta) =prodi=1^n l(theta e^-theta xir) , a densidade conjunta é
Vamos expandir isso.

Passo 3

Multiplicando termos iguais, temos
L(theta;x) =theta^n ,expl(-thetasumi=1^n xir)
Repare que a única dependência de aparece por meio de .

Passo 4

O Teorema da Fatoração de Neyman–Fisher diz que L(theta;x) = gl(T(x),thetar);cdot;h(x), é suficiente se a densidade conjunta puder ser escrita como
gl(T(x),thetar) =theta^n expl(-theta T(x)r) com T(x)=sumi=1^n xi,
onde h(x)=1 depende só de e de , e não depende de .
No nosso caso, basta escolher:
e
Note que depende apenas de e , e não tem .

Passo 5

Como conseguimos essa fatoração, atendendo às condições do Teorema da Fatoração de Neyman–Fisher, concluímos que
T(x)=sumi=1^n xi
é estatística suficiente para .

Resposta

é estatística suficiente para .

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