Seja uma população com distribuição exponencial de parâmetro
, expressa na forma:
da qual são tomadas amostras de tamanho
. Mostre que
é uma estatística suficiente para
, usando o Teorema da Fatoração de Neyman-Fisher.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão diz que temos uma população que segue a distribuição exponencial com parâmetro
, ou seja
e tiramos uma amostra de tamanho
:
. O que pedem é mostrar que
é uma estatística suficiente para
, usando o Teorema da Fatoração de Neyman–Fisher.
Conteúdo principal: estatística suficiente e Teorema da Fatoração. Vamos precisar montar a função de verossimilhança, lembrar o enunciado do Teorema da Fatoração e identificar as partes.
Conteúdo principal: estatística suficiente e Teorema da Fatoração. Vamos precisar montar a função de verossimilhança, lembrar o enunciado do Teorema da Fatoração e identificar as partes.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a função de verossimilhança (ou densidade conjunta da amostra). Como as observações são independentes e cada uma tem densidade
, a densidade conjunta é
Vamos expandir isso.
Passo 3
Multiplicando termos iguais, temos
Repare que a única dependência de
aparece por meio de
.
Passo 4
O Teorema da Fatoração de Neyman–Fisher diz que
é suficiente se a densidade conjunta puder ser escrita como
onde
depende só de
e de
, e
não depende de
.
No nosso caso, basta escolher:
No nosso caso, basta escolher:
e
Note que
depende apenas de
e
, e
não tem
.
Passo 5
Como conseguimos essa fatoração, atendendo às condições do Teorema da Fatoração de Neyman–Fisher, concluímos que
é estatística suficiente para
.