Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória extraída de uma população X. Encontre estimador(es) usado o método dos momentos quando X tem distribuição:
\operatorname{Bin}(n, \theta).

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória X_{1},\ldots,X_{n} vinda de uma população com distribuição binomial indicada como \operatorname{Bin}(n,\theta). O que nos pedem é: encontrar estimador(es) pelo método dos momentos para os parâmetros dessa distribuição.\n
Observações sobre a notação (importante): o enunciado usa a mesma letra n para o tamanho da amostra e para o número de ensaios da binomial — isso gera ambiguidade. Para evitar confusão vou resolver de forma clara usando estas convenções:\n
  • n é o tamanho da amostra (número de observações X_1,\dots,X_n);\n
  • vou chamar de m o número de ensaios (trials) da binomial, isto é, cada X_i\sim\operatorname{Bin}(m,\theta).\n
    Perguntas que vou responder:\n
  1. Se m é conhecido, qual o estimador por método dos momentos para \theta?\n
  2. Se m e \theta são ambos desconhecidos, como obter estimadores por método dos momentos para (m,\theta)?\n
    Todas as informações relevantes: amostra i.i.d. X_i de \operatorname{Bin}(m,\theta); conhecemos o enunciado do método dos momentos (equacionar momentos amostrais com momentos teóricos). A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Explicando o método dos momentos (passo-a-passo bem didático):\n
  • A ideia do método dos momentos é simples: calcularos momentos da amostra (momento amostral) e igualá-los aos momentos da distribuição (momentos teóricos) para obter equações que permitam resolver os parâmetros desconhecidos.\n
  • O primeiro momento teórico (a média) é \mathbb{E}(X)=\mu_1. O momento amostral correspondente é a média amostral
\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
Aqui, \bar X é um número que você calcula a partir dos dados; \mathbb{E}(X) é uma expressão em função dos parâmetros da distribuição.\n
  • Se houver dois parâmetros desconhecidos, usamos o segundo momento (p. ex. a variância teórica) e o segundo momento amostral (por exemplo a variância amostral definida com divisor n, que é o momento central de ordem 2). Para o método dos momentos é comum usar a versão não-viesada do momento central com divisor n (isto é, a média dos quadrados das diferenças em relação à média amostral), porque estamos igualando momentos populacionais.\n
    Vou agora aplicar isto ao caso binomial.

Passo 3

Momentos teóricos da distribuição \operatorname{Bin}(m,\theta) (lembrando o que cada símbolo significa):\n
  • m é o número de ensaios por variável binomial (cada X_i conta sucessos em m ensaios);\n
  • \theta é a probabilidade de sucesso em cada ensaio.\n
    Os momentos importantes são:\n
  • a média (primeiro momento):
\mathbb{E}(X)=m\theta;
  • a variância (segundo momento central):
\operatorname{Var}(X)=m\theta(1-\theta).
Vou usar estas duas fórmulas para os dois casos (quando m conhecido e quando m desconhecido).

Passo 4

Caso 1 — m conhecido (procure o estimador de \theta):\n
  • Pelo método dos momentos, igualamos a média amostral à média teórica:
\bar X = \mathbb{E}(X) = m\theta.
  • Isolando \theta obtemos o estimador por método dos momentos:
\hat\theta_{\text{MM}}=\frac{\bar X}{m}.
Explicação do porquê isso faz sentido: \bar X é uma estimativa natural da média populacional m\theta; dividindo por m obtemos a estimativa natural de \theta. Note que como 0\le \bar X\le m sempre, então 0\le \hat\theta_{\text{MM}}\le1, como deve ser uma probabilidade.

Passo 5

Exemplo rápido (para visualizar e saber aplicar na prova): suponha m=10 e uma amostra de tamanho n=5 com observações X=(3,4,2,5,3). Então
\bar X=\frac{3+4+2+5+3}{5}=\frac{17}{5}=3,4.
O estimador pelo método dos momentos é
\hat\theta_{\text{MM}}=\frac{\bar X}{m}=\frac{3,4}{10}=0,34.
Isso ilustra como você calcula na prova: primeiro \bar X, depois divide por m.

Passo 6

Caso 2 — m e \theta desconhecidos (dois parâmetros):\n
  • Agora precisamos de duas equações. Usamos a média amostral \bar X e a variância amostral (momento central de ordem 2) definida com divisor n:
S_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2.
  • Igualamos esses momentos aos momentos teóricos:
\bar X = m\theta \quad\text{(1)}
S_n^2 = m\theta(1-\theta). \quad\text{(2)}
  • Da equação (1) isolamos \theta:
\theta=\frac{\bar X}{m}.
  • Substituímos na equação (2):
S_n^2 = m\cdot\frac{\bar X}{m}\left(1-\frac{\bar X}{m}\right)=\bar X\left(1-\frac{\bar X}{m}\right).
  • Agora resolvemos essa equação para m. Desenvolvendo:
S_n^2 = \bar X - \frac{\bar X^2}{m}.
Isolando \dfrac{\bar X^2}{m}:
\frac{\bar X^2}{m} = \bar X - S_n^2.
Logo
m = \frac{\bar X^2}{\bar X - S_n^2},
desde que o denominador seja positivo (isto é, \bar X>S_n^2).\n
  • Substituíndo de volta para \theta usando (1):
\hat\theta_{\text{MM}}=\frac{\bar X}{\hat m}=\frac{\bar X}{\dfrac{\bar X^2}{\bar X - S_n^2}}=1-\frac{S_n^2}{\bar X}.
Portanto obtemos estimadores fechados para m e \theta via método dos momentos:
\hat m_{\text{MM}}=\frac{\bar X^2}{\bar X - S_n^2},\qquad \hat\theta_{\text{MM}}=1-\frac{S_n^2}{\bar X}.

Passo 7

Comentários práticos e condições (o que fazer na prova se aparecerem problemas):\n
  • Precisamos de \bar X>S_n^2 para que \hat m_{\text{MM}} seja positiva; se \bar X=S_n^2 dá divisão por zero; se \bar X<S_n^2 o método retorna um valor negativo para m, o que é impossível para o número de ensaios — nesses casos o método dos momentos falha numericamente e você deveria comentar isso na prova.\n
  • O estimador \hat m_{\text{MM}} pode não ser inteiro. Como m é (na prática) um número inteiro de ensaios, uma opção prática é arredondar \hat m_{\text{MM}} para o inteiro mais próximo (ou escolher o inteiro que faça mais sentido no contexto). Na prova, basta indicar que o método fornece um valor real e lembrar que, se for necessário m inteiro, arredonda-se.\n
  • A versão do desvio/variância amostral usada aqui tem divisor n (momento populacional). Se por descuido você usar o estimador com divisor n-1 obterá fórmulas ligeiramente diferentes; para método dos momentos o correto é usar momentos não-viesados no sentido populacional (divisor n para o segundo momento central).

Resposta

\displaystyle \hat\theta_{\text{MM}}=\frac{\bar X}{m} (quando m conhecido).
\displaystyle \hat m_{\text{MM}}=\frac{\bar X^{2}}{\bar X-S_{n}^{2}},\qquad \hat\theta_{\text{MM}}=1-\frac{S_{n}^{2}}{\bar X} (quando m e \theta são desconhecidos), onde \displaystyle \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i e \displaystyle S_{n}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2.

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