Sejam
uma amostra aleatória extraída de uma população
. Encontre estimador(es) usado o método dos momentos quando
tem distribuição:
.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória
vinda de uma população com distribuição binomial indicada como
. O que nos pedem é: encontrar estimador(es) pelo método dos momentos para os parâmetros dessa distribuição.\n
Observações sobre a notação (importante): o enunciado usa a mesma letra para o tamanho da amostra e para o número de ensaios da binomial — isso gera ambiguidade. Para evitar confusão vou resolver de forma clara usando estas convenções:\n
Observações sobre a notação (importante): o enunciado usa a mesma letra
-
é o tamanho da amostra (número de observações );\n - vou chamar de
o número de ensaios (trials) da binomial, isto é, cada .\n
Perguntas que vou responder:\n
- Se
é conhecido, qual o estimador por método dos momentos para ?\n - Se
e são ambos desconhecidos, como obter estimadores por método dos momentos para ?\n
Todas as informações relevantes: amostra i.i.d.de ; conhecemos o enunciado do método dos momentos (equacionar momentos amostrais com momentos teóricos). A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Explicando o método dos momentos (passo-a-passo bem didático):\n
- A ideia do método dos momentos é simples: calcularos momentos da amostra (momento amostral) e igualá-los aos momentos da distribuição (momentos teóricos) para obter equações que permitam resolver os parâmetros desconhecidos.\n
- O primeiro momento teórico (a média) é
. O momento amostral correspondente é a média amostral
Aqui,
é um número que você calcula a partir dos dados;
é uma expressão em função dos parâmetros da distribuição.\n
- Se houver dois parâmetros desconhecidos, usamos o segundo momento (p. ex. a variância teórica) e o segundo momento amostral (por exemplo a variância amostral definida com divisor
, que é o momento central de ordem 2). Para o método dos momentos é comum usar a versão não-viesada do momento central com divisor (isto é, a média dos quadrados das diferenças em relação à média amostral), porque estamos igualando momentos populacionais.\n
Vou agora aplicar isto ao caso binomial.
Passo 3
Momentos teóricos da distribuição
(lembrando o que cada símbolo significa):\n
-
é o número de ensaios por variável binomial (cada conta sucessos em ensaios);\n -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio.\n
Os momentos importantes são:\n - a média (primeiro momento):
- a variância (segundo momento central):
Vou usar estas duas fórmulas para os dois casos (quando
conhecido e quando
desconhecido).
Passo 4
Caso 1 —
conhecido (procure o estimador de
):\n
- Pelo método dos momentos, igualamos a média amostral à média teórica:
- Isolando
obtemos o estimador por método dos momentos:
Explicação do porquê isso faz sentido:
é uma estimativa natural da média populacional
; dividindo por
obtemos a estimativa natural de
. Note que como
sempre, então
, como deve ser uma probabilidade.
Passo 5
Exemplo rápido (para visualizar e saber aplicar na prova): suponha
e uma amostra de tamanho
com observações
. Então
O estimador pelo método dos momentos é
Isso ilustra como você calcula na prova: primeiro
, depois divide por
.
Passo 6
Caso 2 —
e
desconhecidos (dois parâmetros):\n
- Agora precisamos de duas equações. Usamos a média amostral
e a variância amostral (momento central de ordem 2) definida com divisor :
- Igualamos esses momentos aos momentos teóricos:
- Da equação (1) isolamos
:
- Substituímos na equação (2):
- Agora resolvemos essa equação para
. Desenvolvendo:
Isolando
:
Logo
desde que o denominador seja positivo (isto é,
).\n
- Substituíndo de volta para
usando (1):
Portanto obtemos estimadores fechados para
e
via método dos momentos:
Passo 7
Comentários práticos e condições (o que fazer na prova se aparecerem problemas):\n
- Precisamos de
para que seja positiva; se dá divisão por zero; se o método retorna um valor negativo para , o que é impossível para o número de ensaios — nesses casos o método dos momentos falha numericamente e você deveria comentar isso na prova.\n - O estimador
pode não ser inteiro. Como é (na prática) um número inteiro de ensaios, uma opção prática é arredondar para o inteiro mais próximo (ou escolher o inteiro que faça mais sentido no contexto). Na prova, basta indicar que o método fornece um valor real e lembrar que, se for necessário inteiro, arredonda-se.\n - A versão do desvio/variância amostral usada aqui tem divisor
(momento populacional). Se por descuido você usar o estimador com divisor obterá fórmulas ligeiramente diferentes; para método dos momentos o correto é usar momentos não-viesados no sentido populacional (divisor para o segundo momento central).