Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória proviniente de uma população com distribuição N\left(0 ; \sigma^{2}\right). Determine o estimador de máxima verossimilhança de \sigma^{2}.
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra aleatória X_{1},\ldots,X_{n} proveniente de uma população com distribuição normal de média conhecida igual a zero e variância desconhecida \sigma^{2}, ou seja \,X_i\sim N(0,\sigma^{2}).
O que se pede: determinar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para \sigma^{2}.
Expliquei cada termo: o primeiro vem do fator (2\pi\sigma^{2})^{-n/2} e o segundo do expoente \exp(-S/(2\sigma^{2})).
Passo 4
Para achar o máximo da função de verossimilhança derivamos \ell(\sigma^{2}) em relação a \sigma^{2} e igualamos a zero. Calculamos a derivada passo a passo. Seja \theta=\sigma^{2} para clareza; então
\ell(\theta)=-\frac{n}{2}\ln\theta -\frac{S}{2\theta} + \text{constante em relação a }\theta.
Como a segunda derivada é negativa, o ponto crítico é realmente um máximo local (e aqui global dado o formato da função), portanto confirmamos que \widehat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}} é o estimador de máxima verossimilhança.
Passo 6
Comentário pedagógico final (útil para prova): é importante notar que neste caso a média é conhecida e igual a zero; por isso usamos X_i^{2} diretamente. Se a média fosse desconhecida e estimada por \overline{X}, o MLE para a variância seria diferente (seria \frac{1}{n}\sum (X_i-\overline{X})^{2}). Outra observação prática: aqui \widehat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum X_i^{2} é não só MLE como também não é viesado (porque E[X_i^{2}]=\sigma^{2} quando a média é zero), então E[\widehat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}]=\sigma^{2}.