Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória proviniente de uma população com distribuição N\left(0 ; \sigma^{2}\right). Determine o estimador de máxima verossimilhança de \sigma^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra aleatória X_{1},\ldots,X_{n} proveniente de uma população com distribuição normal de média conhecida igual a zero e variância desconhecida \sigma^{2}, ou seja \,X_i\sim N(0,\sigma^{2}).
O que se pede: determinar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para \sigma^{2}.
Informações relevantes dadas:
X_{1},\ldots,X_{n}\text{ i.i.d.},\quad X_i\sim N(0,\sigma^{2}).

Passo 2

Escrevemos a função densidade de probabilidade do i-ésimo observável. Para X_i\sim N(0,\sigma^{2}) a densidade é
f_{X_i}(x_i;\sigma^{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\left(-\frac{x_i^{2}}{2\sigma^{2}}\right).
Como as observações são independentes, a verossimilhança (função de \sigma^{2} dado os dados) é o produto dessas densidades:
L(\sigma^{2})=\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\left(-\frac{X_i^{2}}{2\sigma^{2}}\right).
Para simplificar a notação, defina
S=\sum_{i=1}^{n} X_i^{2}.
Assim podemos escrever a verossimilhança de forma compacta:
L(\sigma^{2})=(2\pi\sigma^{2})^{-n/2}\exp\!\left(-\frac{S}{2\sigma^{2}}\right).

Passo 3

Trabalhamos com a log-verossimilhança porque transforma produtos em somas e facilita derivação. A log-verossimilhança é
\ell(\sigma^{2})=\ln L(\sigma^{2})=-\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^{2})-\frac{S}{2\sigma^{2}}.
Expliquei cada termo: o primeiro vem do fator (2\pi\sigma^{2})^{-n/2} e o segundo do expoente \exp(-S/(2\sigma^{2})).

Passo 4

Para achar o máximo da função de verossimilhança derivamos \ell(\sigma^{2}) em relação a \sigma^{2} e igualamos a zero. Calculamos a derivada passo a passo. Seja \theta=\sigma^{2} para clareza; então
\ell(\theta)=-\frac{n}{2}\ln\theta -\frac{S}{2\theta} + \text{constante em relação a }\theta.çã
Derivando em relação a \theta:
\frac{d\ell}{d\theta}=-\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{\theta} + \frac{S}{2}\cdot\left(-1\right)\cdot\frac{1}{\theta^{2}} \cdot (-1)
(espero que não confunda: o termo -S/(2\theta) deriva para +S/(2\theta^{2})). Portanto
\frac{d\ell}{d\theta}=-\frac{n}{2\theta}+\frac{S}{2\theta^{2}}.
Igualando a zero para encontrar o ponto crítico:
-\frac{n}{2\theta}+\frac{S}{2\theta^{2}}=0.
Multiplicando por 2\theta^{2} para simplificar:
-n\theta + S = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{S}{n}.
Voltando à notação original \theta=\sigma^{2}, obtemos o estimador de máxima verossimilhança
\widehat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^{2}.

Passo 5

Verificamos que o ponto encontrado é máximo (não mínimo nem ponto de sela) checando a segunda derivada. A segunda derivada é
\frac{d^{2}\ell}{d\theta^{2}}=\frac{n}{2\theta^{2}}-\frac{S}{\theta^{3}}.
Avaliada em \theta=\widehat{\theta}=S/n:
\frac{d^{2}\ell}{d\theta^{2}}\Big|_{\theta=S/n}=\frac{n}{2}\left(\frac{n^{2}}{S^{2}}\right)-S\left(\frac{n^{3}}{S^{3}}\right) =\frac{n^{3}}{2S^{2}}-\frac{n^{3}}{S^{2}}=-\frac{n^{3}}{2S^{2}}<0.
Como a segunda derivada é negativa, o ponto crítico é realmente um máximo local (e aqui global dado o formato da função), portanto confirmamos que \widehat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}} é o estimador de máxima verossimilhança.

Passo 6

Comentário pedagógico final (útil para prova): é importante notar que neste caso a média é conhecida e igual a zero; por isso usamos X_i^{2} diretamente. Se a média fosse desconhecida e estimada por \overline{X}, o MLE para a variância seria diferente (seria \frac{1}{n}\sum (X_i-\overline{X})^{2}). Outra observação prática: aqui \widehat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum X_i^{2} é não só MLE como também não é viesado (porque E[X_i^{2}]=\sigma^{2} quando a média é zero), então E[\widehat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}]=\sigma^{2}.

Resposta

\widehat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^{2}.

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