Seja o poterriciat no espaço livre (vácuo) expresso por V=8 x^{2} y z volts.
a) Determine o campo elétrico \left(\overrightarrow{E_{p}}\right) em \langle 2,-1,3). \quad E=-\nabla V
b) Determine a densidade volumétrica de carga ( \rho_{V} ) em P ;
c) Verifique se a função V acima satisfaz a Equação de Laplace.
Passo 1
O enunciado dá o potencial eletrostático em espaço livre
V(x,y,z)=8\,x^{2}y\,z\quad(\text{volts})
e pede:
a) o campo elétrico em P=(2,-1,3), sabendo que \overrightarrow{E}=-\nabla V;
b) a densidade volumétrica de carga em P, sabendo que em vácuo
\rho_{V}=-\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V;
c) verificar se V satisfaz a equação de Laplace \nabla^{2}V=0.
A equação de Laplace exige \nabla^{2}V=0. Aqui \nabla^{2}V(P)=-48\neq0, logo Vnão satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
a) \displaystyle \overrightarrow{E}_{P}=\langle 96,\,-96,\;32\rangle\\ \text{V/m}.
b) \displaystyle \rho_{V}(P)=48\,\varepsilon_{0}\\ \text{C/m}^{3}.
c) Não satisfaz, pois \nabla^{2}V=-48\neq0.