Seja o poterriciat no espaço livre (vácuo) expresso por V=8 x^{2} y z volts.
a) Determine o campo elétrico \left(\overrightarrow{E_{p}}\right) em \langle 2,-1,3). \quad E=-\nabla V
b) Determine a densidade volumétrica de carga ( \rho_{V} ) em P ;
c) Verifique se a função V acima satisfaz a Equação de Laplace.

Passo 1

O enunciado dá o potencial eletrostático em espaço livre
V(x,y,z)=8\,x^{2}y\,z\quad(\text{volts})
e pede:
a) o campo elétrico em P=(2,-1,3), sabendo que \overrightarrow{E}=-\nabla V;
b) a densidade volumétrica de carga em P, sabendo que em vácuo
\rho_{V}=-\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V;
c) verificar se V satisfaz a equação de Laplace \nabla^{2}V=0.

Passo 2

Calculemos primeiro o gradiente de V:
\frac{\partial V}{\partial x}=16\,x\,y\,z,\quad \frac{\partial V}{\partial y}=8\,x^{2}z,\quad \frac{\partial V}{\partial z}=8\,x^{2}y.
Logo
\overrightarrow{E}(x,y,z) =-\nabla V =-\bigl(16\,x\,y\,z\,\hat\imath+8\,x^{2}z\,\hat\jmath+8\,x^{2}y\,\hat k\bigr).
Em P=(2,-1,3) isso vale
E_{x}=-16\cdot2\cdot(-1)\cdot3=96,\quad E_{y}=-8\cdot2^{2}\cdot3=-96,\quad E_{z}=-8\cdot2^{2}\cdot(-1)=32,
portanto
\overrightarrow{E}_{P}=\langle 96,\,-96,\;32\rangle\\ \text{V/m}.

Passo 3

Agora a Laplaciana de V:
\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}=16\,y\,z,\quad \frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}=0,\quad \frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=0,
logo
\nabla^{2}V=16\,y\,z.
Em P temos \nabla^{2}V=16\cdot(-1)\cdot3=-48. Assim,
\rho_{V}(P)=-\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V =-\varepsilon_{0}\,(-48) =48\,\varepsilon_{0}\quad(\text{C/m}^{3}).

Passo 4

A equação de Laplace exige \nabla^{2}V=0. Aqui \nabla^{2}V(P)=-48\neq0, logo V não satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

a) \displaystyle \overrightarrow{E}_{P}=\langle 96,\,-96,\;32\rangle\\ \text{V/m}.
b) \displaystyle \rho_{V}(P)=48\,\varepsilon_{0}\\ \text{C/m}^{3}.
c) Não satisfaz, pois \nabla^{2}V=-48\neq0.

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