Seja o conjunto \mathcal{A}=\left\{a+b \sqrt{3} \in \mathbb{R}^{*} \mid a, b \in \mathbb{Q}\right\}.
(a) Prove que \mathcal{A} é fechado com relação à operação de multiplicação usual dos números reais.
(b) Monstre que \mathcal{A} é um grupo multiplicativo abeliano.

Passo 1

O enunciado define \mathcal{A}=\{\,a+b\sqrt{3}\in\mathbb{R}^*\mid a,b\in\mathbb{Q}\}
e pede:
(a) mostrar que \mathcal{A} é fechado em relação à multiplicação usual;
(b) provar que \mathcal{A} é um grupo abeliano sob multiplicação.
Conteúdo: estruturas algébricas (fechamento, elemento neutro, inverso, associatividade, comutatividade) em sub-conjunto de \mathbb{R}.

Passo 2

Sejam
x=a+b\sqrt{3},\quad y=c+d\sqrt{3}
com a,b,c,d\in\mathbb{Q} e x,y\neq0. Então
xy=(a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3}) =(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3}.
Como ac+3bd\in\mathbb{Q} e ad+bc\in\mathbb{Q}, segue xy\in\mathcal{A}. Além disso, xy\neq0 pois produto de não-zero em \mathbb{R} é não-zero. Logo \mathcal{A} é fechado.

Passo 3

O elemento neutro multiplicativo em \mathbb{R} é 1. Como
1 = 1 + 0\sqrt{3}
e 1,0\in\mathbb{Q}, temos 1\in\mathcal{A} e 1\cdot x = x\cdot1 = x para todo x\in\mathcal{A}.

Passo 4

Dado x=a+b\sqrt{3}\in\mathcal{A}, x\neq0, seu inverso em \mathbb{R} é
x^{-1}=\frac{1}{a+b\sqrt{3}} =\frac{a-b\sqrt{3}}{a^2-3b^2}.
Aqui a-b\sqrt{3}\in\mathcal{A} pois a,b\in\mathbb{Q}. E a^2-3b^2\in\mathbb{Q}. Se a^2-3b^2=0 então (a/b)^2=3 com a/b\in\mathbb{Q}, o que forçaria \sqrt{3}\in\mathbb{Q}, absurdo, ou então b=0 e a=0, violando x\neq0. Portanto a^2-3b^2\neq0 e x^{-1}\in\mathcal{A}.

Passo 5

A associatividade da multiplicação vem de \mathbb{R}. A comutatividade também, pois xy=yx em \mathbb{R}.

Resposta

(a) Mostramos que o produto de dois elementos de \mathcal{A} está em \mathcal{A}, logo \mathcal{A} é fechado.
(b) O conjunto \mathcal{A} contém o neutro 1, todo elemento não-zero tem inverso em \mathcal{A}, e a multiplicação é associativa e comutativa. Portanto \mathcal{A} é um grupo multiplicativo abeliano.

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