Seja o conjunto
.
(a) Prove que
é fechado com relação à operação de multiplicação usual dos números reais.
(b) Monstre que
é um grupo multiplicativo abeliano.
(a) Prove que
(b) Monstre que
Passo 1
O enunciado define
e pede:
(a) mostrar que é fechado em relação à multiplicação usual;
(b) provar que é um grupo abeliano sob multiplicação.
e pede:
(a) mostrar que
(b) provar que
Conteúdo: estruturas algébricas (fechamento, elemento neutro, inverso, associatividade, comutatividade) em sub-conjunto de
.
Passo 2
Sejam
com
e
. Então
Como
e
, segue
. Além disso,
pois produto de não-zero em
é não-zero. Logo
é fechado.
Passo 3
O elemento neutro multiplicativo em
é
. Como
e
, temos
e
para todo
.
Passo 4
Dado
,
, seu inverso em
é
Aqui
pois
. E
. Se
então
com
, o que forçaria
, absurdo, ou então
e
, violando
. Portanto
e
.
Passo 5
A associatividade da multiplicação vem de
. A comutatividade também, pois
em
.
Resposta
(a) Mostramos que o produto de dois elementos de
está em
, logo
é fechado.
(b) O conjunto contém o neutro
, todo elemento não-zero tem inverso em
, e a multiplicação é associativa e comutativa. Portanto
é um grupo multiplicativo abeliano.
(b) O conjunto