Seja
, onde
é uma função diferenciável nas variáveis
e
. Calcule
, sabendo que
,
, e:
Ponto(x, y, z, w)
-1
2
-1
3
-4
2
-1
2
-1
3
-1
2
-1
2
-1
3
-1
2
-1
2
-4
3
-1
2
-1
Ponto(x, y, z, w) |
|
|
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|
|
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-1 | 2 | -1 | 3 | -4 |
|
2 | -1 | 2 | -1 | 3 |
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-1 | 2 | -1 | 2 | -1 |
|
3 | -1 | 2 | -1 | 2 |
|
-4 | 3 | -1 | 2 | -1 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular $ g’(0) $, onde $ g(t) = f\left(p’(t), q’(t), r’(t), s’(t)\right) $. A matéria envolvida aqui é derivação de funções compostas, usando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar dos valores das derivadas das funções $ p(t) $, $ q(t) $, $ r(t) $ e $ s(t) $ no ponto $ t = 0 $, além das derivadas parciais de $ f $ nas variáveis $ x, y, z, w $ no ponto correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto onde vamos avaliar as derivadas parciais de $ f $. Sabemos que:
Então, o ponto de avaliação para $ f $ é $ (x, y, z, w) = (-3, 4, 2, -1) $. Porém, olhando para a tabela fornecida, não temos exatamente esse ponto listado. Mas, observando os valores de $ p(0) $, $ q(0) $, $ r(0) $, e $ s(0) $:
Portanto, o ponto que corresponde aos valores de $ f $ na tabela é $ (2, 1, 4, 3) $, que é o Ponto C.
Passo 3
Agora, vamos usar a regra da cadeia para derivar $ g(t) $. A derivada de $ g(t) $ em relação a $ t $ é dada por:
Contudo, como estamos avaliando em $ t = 0 $, e não temos informações sobre as segundas derivadas das funções $ p(t) $, $ q(t) $, $ r(t) $ e $ s(t) $, provavelmente há um equívoco na interpretação inicial. Na verdade, a regra correta é:
Passo 4
Vamos então aplicar a fórmula correta da regra da cadeia:
Substituindo os valores conhecidos:
E pelas derivadas dadas:
Passo 5
Consultando a tabela para o ponto $ (2, 1, 4, 3) $ (Ponto C), temos:
Agora, vamos substituir esses valores na expressão de $ g’(0) $:
Passo 6
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:
Resposta
Portanto, o valor de $ g’(0) $ é
.