Seja g(t)=f(p^prime(t), q^prime(t), r^prime(t), s^prime(t)), onde f é uma função diferenciável nas variáveis x, y, z e w. Calcule g^prime(0), sabendo que p(0)=2, p^prime(0)=-3, q(0)=1, q^prime(0)=4, r(0)=4, r^prime(0)=2, s(0) equiv 3, s^prime(0)=-1, e:
Ponto(x, y, z, w) |l|r|r|r|r|r| hline Ponto(x, y, z, w) & $f$ & $fx$ & $fy$ & $fz$ & $fw$ hline$A=(0,0,0,0)$ & -1 & 2 & -1 & 3 & -4 hline$B=(1,2,3,4)$ & 2 & -1 & 2 & -1 & 3 hline$C=(2,1,4,3)$ & -1 & 2 & -1 & 2 & -1 hline$D=(4,3,2,1)$ & 3 & -1 & 2 & -1 & 2 hline$E=(3,4,1,2)$ & -4 & 3 & -1 & 2 & -1 hline
-1 2 -1 3 -4
2 -1 2 -1 3
-1 2 -1 2 -1
3 -1 2 -1 2
-4 3 -1 2 -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular $ g’(0) $, onde $ g(t) = f\left(p’(t), q’(t), r’(t), s’(t)\right) $. A matéria envolvida aqui é derivação de funções compostas, usando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar dos valores das derivadas das funções $ p(t) $, $ q(t) $, $ r(t) $ e $ s(t) $ no ponto $ t = 0 $, além das derivadas parciais de $ f $ nas variáveis $ x, y, z, w $ no ponto correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto onde vamos avaliar as derivadas parciais de $ f $. Sabemos que:
f
Então, o ponto de avaliação para $ f $ é $ (x, y, z, w) = (-3, 4, 2, -1) $. Porém, olhando para a tabela fornecida, não temos exatamente esse ponto listado. Mas, observando os valores de $ p(0) $, $ q(0) $, $ r(0) $, e $ s(0) $:
p'(0) = -3, q'(0) = 4, r'(0) = 2, s'(0) = -1
Portanto, o ponto que corresponde aos valores de $ f $ na tabela é $ (2, 1, 4, 3) $, que é o Ponto C.

Passo 3

Agora, vamos usar a regra da cadeia para derivar $ g(t) $. A derivada de $ g(t) $ em relação a $ t $ é dada por:
g(t)
Contudo, como estamos avaliando em $ t = 0 $, e não temos informações sobre as segundas derivadas das funções $ p(t) $, $ q(t) $, $ r(t) $ e $ s(t) $, provavelmente há um equívoco na interpretação inicial. Na verdade, a regra correta é:
g(t)

Passo 4

Vamos então aplicar a fórmula correta da regra da cadeia:
g'(0) = fx(p(0), q(0), r(0), s(0)) cdot p'(0) + fy(p(0), q(0), r(0), s(0)) cdot q'(0) + fz(p(0), q(0), r(0), s(0)) cdot r'(0) + fw(p(0), q(0), r(0), s(0)) cdot s'(0)
Substituindo os valores conhecidos:
p(0) = 2, q(0) = 1, r(0) = 4, s(0) = 3
E pelas derivadas dadas:
p'(0) = -3, q'(0) = 4, r'(0) = 2, s'(0) = -1

Passo 5

Consultando a tabela para o ponto $ (2, 1, 4, 3) $ (Ponto C), temos:
(2, 1, 4, 3)
Agora, vamos substituir esses valores na expressão de $ g’(0) $:
fx = 2, fy = -1, fz = 2, fw = -1

Passo 6

Calculando cada termo:
2 cdot (-3) = -6
-1 cdot 4 = -4
2 cdot 2 = 4
-1 cdot (-1) = 1
Somando todos os termos:
-6 + (-4) + 4 + 1 = -5

Resposta

Portanto, o valor de $ g’(0) $ é g'(0) .

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