Seja um produto escalar em (os pontos denotam os argumentos do produto escalar), cuja norma euclidiana é dada por , e um conjunto ortogonal em . Seja
a projeção ortogonal de V ao longo de W=L(Sk) com respeito a lang<=cdot, cdotrang<= (Exercício 7).
a.) Mostre que |x|^2=|PW(x)|^2+|x-PW(x)|^2 para todo x in V. (Dica: demonstre primeiro a seguinte forma do Teorema de Pitágoras: se lang<=x, yrang<==0, então |x+y|^2=|x|^2+|y|^2)
b.) Demonstre a desigualdade de Bessel: para todo x in V,
sumj=1^k lang<=ej, xrang<=^2|ej|^2 <=|x|^2
com igualdade se e somente se x in W. (Dica: use o teorema de Pitágoras para obter que |PW(x)|^2=sumj=1^k lang<=ej, x)^2|pj|^2. Conclua empregando o resultado do item (a))
Passo 1
O enunciado trabalha num espaço vetorial V com produto escalar lang<=cdot,cdotrang<= e norma |vec x|=raizlang<=vec x,vec xrang<=. Temos um conjunto ortogonal Sk=vec e1,dots,vec ek e seu subespaço W=span(Sk). A projeção ortogonal de vec x em W é
PW(x) =sumj=1^klang<= vec ej,vec xrang<=|vec ej|^2,vec ej
Precisamos mostrar:
a) a decomposição de Pitágoras