Seja lang<=cdot, cdotrang<= um produto escalar em V (os pontos denotam os argumentos do produto escalar), cuja norma euclidiana é dada por |x|=raizlang<=x, xrang<=, e Sk=e1, ldots, ek um conjunto ortogonal em V. Seja
PW(x)=sumj=1^k lang<=ej, xrang<=|ej|^2 ej
a projeção ortogonal de V ao longo de W=L(Sk) com respeito a lang<=cdot, cdotrang<= (Exercício 7).
a.) Mostre que |x|^2=|PW(x)|^2+|x-PW(x)|^2 para todo x in V. (Dica: demonstre primeiro a seguinte forma do Teorema de Pitágoras: se lang<=x, yrang<==0, então |x+y|^2=|x|^2+|y|^2)
b.) Demonstre a desigualdade de Bessel: para todo x in V,
sumj=1^k lang<=ej, xrang<=^2|ej|^2 <=|x|^2
com igualdade se e somente se x in W. (Dica: use o teorema de Pitágoras para obter que |PW(x)|^2=sumj=1^k lang<=ej, x)^2|pj|^2. Conclua empregando o resultado do item (a))

Passo 1

O enunciado trabalha num espaço vetorial V com produto escalar lang<=cdot,cdotrang<= e norma |vec x|=raizlang<=vec x,vec xrang<=. Temos um conjunto ortogonal Sk=vec e1,dots,vec ek e seu subespaço W=span(Sk). A projeção ortogonal de vec x em W é
PW(x) =sumj=1^klang<= vec ej,vec xrang<=|vec ej|^2,vec ej
Precisamos mostrar:
a) a decomposição de Pitágoras
|vec x|^2=l|PW(vec x)r|^2+l|vec x-PW(vec x)r|^2,
b) a desigualdade de Bessel
sumj=1^klang<=vec ej,vec xrang<=^2|vec ej|^2;<=;|vec x|^2,
com igualdade se e só se vec xin W.

Passo 2

Demonstro primeiro o Teorema de Pitágoras no espaço interno: se lang<=vec u,vec vrang<==0, então
|vec u+vec v|^2 =lang<= vec u+vec v,;vec u+vec vrang<= =lang<=vec u,vec urang<= +2,lang<=vec u,vec vrang<= +lang<=vec v,vec vrang<= =|vec u|^2+|vec v|^2

Passo 3

Mostro que PW(vec x) e vec x - PW(vec x) são ortogonais. Como PW(vec x)in W, basta ver que vec x-PW(vec x) é ortogonal a cada vec ej. Para 1<= j<= k:
lang<= vec x - PW(vec x),,vec ejrang<= =lang<= vec x,vec ejrang<= -llang<=sumi=1^klang<=vec ei,vec xrang<=|vec ei|^2vec ei,;vec ejrrang<=
Pela ortogonalidade de Sk, só o termo i=j sobrevive:
llang<=lang<=vec ej,vec xrang<=|vec ej|^2,vec ej,;vec ejrrang<= =lang<=vec ej,vec xrang<=|vec ej|^2,|vec ej|^2 =lang<=vec ej,vec xrang<=
Logo lang<= vec x - PW(vec x),,vec ejrang<==0, e portanto
lang<= PW(vec x),,vec x - PW(vec x)rang<==0.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Pitágoras do Passo 2 aos vetores vec u=PW(vec x) e vec v=vec x-PW(vec x), obtém-se
|vec x|^2 =|vec u+vec v|^2 =|vec u|^2+|vec v|^2 =l|PW(vec x)r|^2 +l|vec x-PW(vec x)r|^2,
que é justamente o item (a).

Passo 5

Para o item (b), calculamos
l|PW(vec x)r|^2 =gl|sumj=1^klang<=vec ej,vec xrang<=|vec ej|^2,vec ejgr|^2
Como os termos são ortogonais, a norma ao quadrado soma os quadrados das normas de cada parcela:
l|PW(vec x)r|^2 =sumj=1^k l|lang<=vec ej,vec xrang<=|vec ej|^2,vec ejr|^2 =sumj=1^klang<=vec ej,vec xrang<=^2|vec ej|^4,|vec ej|^2 =sumj=1^klang<=vec ej,vec xrang<=^2|vec ej|^2

Passo 6

Do item (a) segue
|x|^2 =l|PW(x)r|^2 +l|x-PW(x)r|^2 ;>=;l|PW(x)r|^2 =sumj=1^klang<=ej,xrang<=^2|ej|^2,
estabelecendo a desigualdade de Bessel. A igualdade só ocorre quando
|x-PW(x)|^2=0, i.e.\ x=PW(x)in W.

Resposta

a) |vec x|^2=|PW(vec x)|^2+|vec x-PW(vec x)|^2
b) sumj=1^klang<=vec ej,vec xrang<=^2|vec ej|^2<=|vec x|^2, com igualdade sse vec xin W.

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