Seja V=M2 times 2(R) (ver Exercício 3 da Lista 1), e
lang<= A, Brang<= & =Tr(A^T B)=sumi, j=1^2 Ai j Bi j & =A11 B11+A12 B12+A21 B21+A22 B22
onde Tr(C)=C11+C22 é o traço da matriz C= [Ci j] in V (i.e. Ci j é a entrada de C na i-ésima linha e j-ésima coluna) e C^T=[Cj i] é a transposta de C. Mostre que lang<= A, Brang<= é um produto escalar em V.

Passo 1

O enunciado define em a forma
Queremos mostrar que isso satisfaz os três axiomas de produto escalar real em : simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

(Simetria) Para todo vale

Passo 3

(Bilinearidade) Seja e . Então
Como o produto escalar real é simétrico, ele também é linear em cada argumento.

Passo 4

(Positividade definida) Para qualquer A in V tem-se
lang<= A,Arang<= = Tr(A^T A) = sumi,j=1^2 Aij^2 >= 0
E lang<= A,Arang<==0 se e somente se todos os Aij=0, i.e.\ A é a matriz zero.

Resposta

Logo satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, sendo portanto um produto escalar em .

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