Seja
(ver Exercício 3 da Lista 1), e
onde
é o traço da matriz
(i.e.
é a entrada de
na
-ésima linha e
-ésima coluna) e
é a transposta de
. Mostre que
é um produto escalar em
.
Passo 1
O enunciado define em
a forma
Queremos mostrar que isso satisfaz os três axiomas de produto escalar real em
: simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
(Simetria) Para todo
vale
Passo 3
(Bilinearidade) Seja
e
. Então
Como o produto escalar real é simétrico, ele também é linear em cada argumento.
Passo 4
(Positividade definida) Para qualquer
tem-se
E
se e somente se todos os
, i.e.\
é a matriz zero.
Resposta
Logo satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, sendo portanto um produto escalar em
.