Seja Q a carga total distribuída uniformemente e uma esfera isolante de raio R. O campo elétrico a uma distância R / 2 do centro da esfera é:
Escolha uma opção:
a. Q / 4 \pi \epsilon_{0} R^{2}
b. nenhuma da alternativas
c. Q / \pi \epsilon_{0} R^{2}
d. Q / 8 \pi \epsilon_{0} R^{2}
e. 3 Q / 4 \pi \epsilon_{0} R^{2}

Passo 1

O enunciado dá uma esfera isolante de raio R com carga total Q uniformemente distribuída e pede o campo elétrico no ponto interno a uma distância r=R/2 do centro. O conteúdo é a Lei de Gauss em simetria esférica.

Passo 2

Primeiro determinamos a densidade volumétrica de carga \rho e a carga contida dentro de uma esfera de raio genérico r.
A densidade é
\rho = \frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
Logo, a carga interna até o raio r é
Q_{\text{int}}(r) = \rho \,\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\Bigr) = Q\,\frac{r^{3}}{R^{3}}.

Passo 3

Aplicamos a Lei de Gauss em simetria esférica: a fluxo do campo numa superfície gaussiana de raio r satisfaz
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\epsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi \epsilon_{0}\,r^{2}}.

Passo 4

Substituindo Q_{\text{int}}(r)=Q\,r^{3}/R^{3} e r=R/2 em E(r), vem
E\bigl(R/2\bigr) = \frac{Q\,(R/2)^{3}/R^{3}}{4\pi\epsilon_{0}\,(R/2)^{2}} = \frac{Q\,R^{3}/8}{R^{3}}\;\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{4}{R^{2}} = \frac{Q}{8\pi\epsilon_{0}\,R^{2}}.

Passo 5

O valor obtido coincide com a alternativa d.

Resposta

(d)

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