Seja Q=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times[0, a] sendo a>0. Calcular explícitamente o valor da integral dupla
\iint_{Q} \operatorname{sen}(x+y) d x d y .

Passo 1

O enunciado pede para calcular explicitamente a integral dupla
\iint_{Q} \sin(x+y)\,dx\,dy
no retângulo Q = \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\times[0,a], com a>0. As informações relevantes são:
\text{limites em }x:\; 0\le x\le \frac{\pi}{2},\qquad \text{limites em }y:\; 0\le y\le a,
e a função integranda é \sin(x+y). A tarefa é calcular o valor numérico explícito da integral em termos de a.

Passo 2

Vamos usar a regra de Fubini (iteração de integrais) porque a função \sin(x+y) é contínua em todo o retângulo Q. A consequência prática é que podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada, por exemplo
\iint_{Q} \sin(x+y)\,dx\,dy = \int_{0}^{a}\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin(x+y)\,dx\right)dy.
(Isto significa: primeiro integro em x mantendo y fixo, depois integro o resultado em y.)

Passo 3

Calculo a integral interna em x. Primeiro lembro a antiderivada de \sin: uma primitiva de \sin t é -\cos t, porque \frac{d}{dt}(-\cos t)=\sin t. Assim,
\int_{0}^{\pi/2}\sin(x+y)\,dx = \Big[-\cos(x+y)\Big]_{x=0}^{x=\pi/2}.

Passo 4

Avalio a primitiva nos extremos de x:
\Big[-\cos(x+y)\Big]_{0}^{\pi/2} = -\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+y\right) -\big(-\cos(y)\big).
Uso a identidade trigonométrica
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+y\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cos y-\sin\frac{\pi}{2}\sin y = 0\cdot\cos y - 1\cdot\sin y = -\sin y.
Portanto
-\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+y\right)= -(-\sin y)=\sin y,
e obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\sin(x+y)\,dx = \sin y + \cos y.

Passo 5

Agora integro o resultado em y de 0 a a:
\int_{0}^{a}(\sin y + \cos y)\,dy.
Novamente uso primitivas: uma primitiva de \sin y é -\cos y e uma primitiva de \cos y é \sin y. Logo uma primitiva de \sin y+\cos y é -\cos y + \sin y. Assim
\int_{0}^{a}(\sin y + \cos y)\,dy = \Big[-\cos y + \sin y\Big]_{0}^{a}.

Passo 6

Avalio a primitiva nos extremos em y:
\Big[-\cos y + \sin y\Big]_{0}^{a} = (-\cos a + \sin a) - (-\cos 0 + \sin 0).
Como \cos 0 = 1 e \sin 0 = 0, isto fica
-\cos a + \sin a -(-1 + 0) = -\cos a + \sin a + 1.
Portanto o valor da integral dupla é
1 - \cos a + \sin a.

Passo 7

(Só para conferir: se integrássemos na ordem inversa, primeiro em y, obteríamos a mesma resposta. Isso confirma a consistência e é consequência da continuidade da função e do teorema de Fubini.)

Resposta

1 - \cos a + \sin a

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