Seja
sendo
. Calcular explícitamente o valor da integral dupla
Passo 1
O enunciado pede para calcular explicitamente a integral dupla
no retângulo
, com
. As informações relevantes são:
e a função integranda é
. A tarefa é calcular o valor numérico explícito da integral em termos de
.
Passo 2
Vamos usar a regra de Fubini (iteração de integrais) porque a função
é contínua em todo o retângulo
. A consequência prática é que podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada, por exemplo
(Isto significa: primeiro integro em
mantendo
fixo, depois integro o resultado em
.)
Passo 3
Calculo a integral interna em
. Primeiro lembro a antiderivada de
: uma primitiva de
é
, porque
. Assim,
Passo 4
Avalio a primitiva nos extremos de
:
Uso a identidade trigonométrica
Portanto
e obtemos
Passo 5
Agora integro o resultado em
de
a
:
Novamente uso primitivas: uma primitiva de
é
e uma primitiva de
é
. Logo uma primitiva de
é
. Assim
Passo 6
Avalio a primitiva nos extremos em
:
Como
e
, isto fica
Portanto o valor da integral dupla é
Passo 7
(Só para conferir: se integrássemos na ordem inversa, primeiro em
, obteríamos a mesma resposta. Isso confirma a consistência e é consequência da continuidade da função e do teorema de Fubini.)