Seja q(x)=\frac{x^{3}-2 x}{x^{2}}.
(a) Simplifique a expressão e determine o domínio.
(b) Calcule q^{\prime}(x) e o valor de q^{\prime}(1).

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos a função q(x)=\frac{x^{3}-2x}{x^{2}}. O exercício pede duas coisas:
  • (a) simplificar a expressão e determinar o domínio;
  • (b) calcular q^{\prime}(x) e o valor de q^{\prime}(1).
    Informações dadas: a expressão algébrica \frac{x^{3}-2x}{x^{2}} (observe que há divisão por x^{2}, então isso impõe uma restrição inicial no domínio).

Passo 2

Simplificação algébrica — transformando a fração em termos mais simples: quando temos uma soma ou diferença no numerador e um monômio no denominador, podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador (desde que o denominador não seja zero). Aplicando isso:
\frac{x^{3}-2x}{x^{2}}=\frac{x^{3}}{x^{2}}-\frac{2x}{x^{2}}.
Agora simplificamos cada fração separadamente.

Passo 3

Cálculo de cada fração da simplificação:
\frac{x^{3}}{x^{2}}=x^{3-2}=x,
pois dividir potências de mesma base subtrai expoentes; e
\frac{2x}{x^{2}}=2\cdot\frac{x}{x^{2}}=2\cdot x^{1-2}=2\cdot x^{-1}=\frac{2}{x}.
Portanto a expressão simplificada é
q(x)=x-\frac{2}{x},
válida sempre que fizermos as divisões (ou seja, quando x\neq 0).

Passo 4

Determinação do domínio: o denominador original é x^{2}. Para que a função original esteja definida precisamos ter x^{2}\neq 0, ou seja x\neq 0. Assim o domínio é todos os reais exceto zero:
\text{domínio}=\mathbb{R}\setminus\{0\}=( -\infty,0)\cup(0,\infty).í
Observação didática: mesmo que a forma simplificada pareça ter sentido para outros x, nunca podemos incluir x=0 se a expressão original tinha divisão por zero — a função original não está definida em x=0.

Passo 5

Escolha do método para derivar: é mais simples derivar a forma já simplificada q(x)=x-\dfrac{2}{x} termo a termo, usando regras básicas de derivação. Vou lembrar (e explicar) as regras que vamos usar:
  • Regra do coeficiente: a derivada de c\cdot f(x) é c\cdot f'(x), onde c é constante.
  • Regra da soma/diferença: a derivada da soma/diferença é a soma/diferença das derivadas.
  • Regra da potência (power rule): para f(x)=x^{n} com n real, f'(x)=n x^{n-1}.
  • No caso de 1/x, escrevemos x^{-1} e aplicamos a regra da potência: \frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 6

Aplicando as regras à função simplificada: escrevemos primeiro q(x) com potência negativa para facilitar:
q(x)=x-2x^{-1}.
Agora derivamos termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}x=1 (pela regra da potência com n=1);
  • \dfrac{d}{dx}(-2x^{-1})=-2\cdot(-1)x^{-2}=2x^{-2}=\dfrac{2}{x^{2}}.
    Somando as derivadas:
q^{\prime}(x)=1+\frac{2}{x^{2}}.

Passo 7

Domínio da derivada: as operações envolvem \frac{2}{x^{2}}, que exige x\neq 0. Portanto q^{\prime}(x) está definida em \mathbb{R}\setminus\{0\}, mesmo domínio da função original.

Passo 8

Cálculo de q^{\prime}(1): substituímos x=1 em q^{\prime}(x)=1+\dfrac{2}{x^{2}}:
q^{\prime}(1)=1+\frac{2}{1^{2}}=1+2=3.

Resposta

(a) q(x)=x-\dfrac{2}{x}, domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}
(b) q^{\prime}(x)=1+\dfrac{2}{x^{2}} \;,\; q^{\prime}(1)=3

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