Seja
.
(a) Simplifique a expressão e determine o domínio.
(b) Calcule
e o valor de
.
(a) Simplifique a expressão e determine o domínio.
(b) Calcule
Passo 1
Enunciado e o que se pede: temos a função
. O exercício pede duas coisas:
- (a) simplificar a expressão e determinar o domínio;
- (b) calcular
e o valor de .
Informações dadas: a expressão algébrica(observe que há divisão por , então isso impõe uma restrição inicial no domínio).
Passo 2
Simplificação algébrica — transformando a fração em termos mais simples: quando temos uma soma ou diferença no numerador e um monômio no denominador, podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador (desde que o denominador não seja zero). Aplicando isso:
Agora simplificamos cada fração separadamente.
Passo 3
Cálculo de cada fração da simplificação:
pois dividir potências de mesma base subtrai expoentes; e
Portanto a expressão simplificada é
válida sempre que fizermos as divisões (ou seja, quando
).
Passo 4
Determinação do domínio: o denominador original é
. Para que a função original esteja definida precisamos ter
, ou seja
. Assim o domínio é todos os reais exceto zero:
Observação didática: mesmo que a forma simplificada pareça ter sentido para outros
, nunca podemos incluir
se a expressão original tinha divisão por zero — a função original não está definida em
.
Passo 5
Escolha do método para derivar: é mais simples derivar a forma já simplificada
termo a termo, usando regras básicas de derivação. Vou lembrar (e explicar) as regras que vamos usar:
- Regra do coeficiente: a derivada de
é , onde é constante. - Regra da soma/diferença: a derivada da soma/diferença é a soma/diferença das derivadas.
- Regra da potência (power rule): para
com real, . - No caso de
, escrevemos e aplicamos a regra da potência: .
Passo 6
Aplicando as regras à função simplificada: escrevemos primeiro
com potência negativa para facilitar:
Agora derivamos termo a termo:
-
(pela regra da potência com ); -
.
Somando as derivadas:
Passo 7
Domínio da derivada: as operações envolvem
, que exige
. Portanto
está definida em
, mesmo domínio da função original.
Passo 8
Cálculo de
: substituímos
em
:
Resposta
(a)
, domínio
(b)
(b)