Analise os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x-5}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty} \frac{2x-5}{x^{2}+1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é a razão entre o polinômio do numerador \,2x-5, e o polinômio do denominador \,x^{2}+1.
  • O numerador tem grau 1 (termo dominante 2x).
  • O denominador tem grau 2 (termo dominante x^{2}).
  • O limite é pedido quando x cresce para +\infty.

Passo 2

Conceito útil (explicado de forma simples): quando x\to+\infty, termos com potências maiores de x crescem muito mais rápido do que termos com potências menores. Logo, para razões de polinômios o comportamento no infinito é dominado pelos termos de maior grau em numerador e denominador. Se o grau do denominador for maior que o do numerador, a razão tende a zero porque o denominador cresce mais rápido.

Passo 3

Vamos aplicar um método algébrico direto e seguro: dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador, que é x^{2}. Isso simplifica a expressão para termos que tendem a zero quando x\to+\infty. Fazendo a divisão obtemos
\frac{2x-5}{x^{2}+1} = \frac{\dfrac{2x}{x^{2}}-\dfrac{5}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Agora analisamos o comportamento de cada termo quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{5}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
Substituindo esses limites na expressão obtida:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{0-0}{1+0} = 0.

Passo 4

Intuição curta para fixar: o numerador cresce como x (proporcional a x) enquanto o denominador cresce como x^{2}, então a fração se comporta como algo da ordem de 1/x para x grande, e 1/x\to0. Portanto o limite é 0. Força aí — é padrão: grau do denominador maior que o do numerador → limite zero.

Resposta

0

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