As dimensões de uma caixa retangular fechada são 2 m (largura), 3 m (comprimento) e 3,6 \mathrm{~m} (altura), com erro possível de \pm 0,2 \mathrm{~cm} em cada medida. Pede-se:
a) Usando aproximação linear, estime o erro máximo no valor do cálculo do volume desta caixa.
b) Estime o volume desta caixa caso os erros nas medidas fossem os maiores possíveis e para mais.
c) Qual o valor aproximado do erro percentual do volume da caixa se o erro na medida da largura e do comprimento for de 10 \% e o erro na medida da altura for de 20 \% ?

Passo 1

O enunciado trata do volume de uma caixa retangular com dimensões largura L=2{,}0\:\mathrm{m}, comprimento C=3{,}0\:\mathrm{m} e altura A=3{,}6\:\mathrm{m}, cada uma sujeita a erro de \pm0{,}2\:\mathrm{cm}=\pm0{,}002\:\mathrm{m}. Vamos usar aproximação linear (diferenciais) para estimar o erro no volume e também calcular cenários de erro máximo e percentual.

Passo 2

O volume é dado por
V = L\,C\,A.
Aplicando diferenciação total, obtemos
dV = \frac{\partial V}{\partial L}\,dL \;+\;\frac{\partial V}{\partial C}\,dC\;+\;\frac{\partial V}{\partial A}\,dA = C\,A\,dL \;+\;L\,A\,dC\;+\;L\,C\,dA.

Passo 3

Para (a), tomamos dL,dC,dA=\pm0{,}002\:\mathrm{m} e calculamos o erro máximo absoluto:
|dV|_{\max} = C\,A\cdot|dL| \;+\;L\,A\cdot|dC|\;+\;L\,C\cdot|dA| =3{,}0\cdot3{,}6\cdot0{,}002 +2{,}0\cdot3{,}6\cdot0{,}002 +2{,}0\cdot3{,}0\cdot0{,}002 =0{,}0216+0{,}0144+0{,}0120 =0{,}0480\:\mathrm{m}^3.

Passo 4

Para (b), se todos os erros forem positivos e máximos, o volume aproximado é
V_{\max}=(L+0{,}002)\,(C+0{,}002)\,(A+0{,}002).
Fazendo a conta,
V_{\max}\approx2{,}002\cdot3{,}002\cdot3{,}602\approx21{,}648\:\mathrm{m}^3.

Passo 5

Para (c), usando erro percentual aproximado pelas razões dos diferenciais, temos
\frac{dV}{V}\approx\frac{dL}{L}+\frac{dC}{C}+\frac{dA}{A} =0{,}10+0{,}10+0{,}20=0{,}40,
ou seja, erro percentual de aproximadamente 40\%.

Resposta

a) 0,0480\:\mathrm{m}^3\nb) 21,648\:\mathrm{m}^3\nc) 40\%

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