(2,0) Explique o que é solicitado:
A soma quadrática em modelos de regressão.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é a soma quadrática em modelos de regressão. O conteúdo envolve análise de variância em regressão linear, onde particionamos a variabilidade total dos dados em parte explicada pelo modelo e parte residual. Para isso, vamos apresentar o modelo, definir as somas de quadrados total, explicada e residual, e mostrar como elas se relacionam.

Passo 2

Considere o modelo de regressão linear clássico com n observações:
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \cdots + \beta_p x_{ip} + \varepsilon_i,
onde \varepsilon_i são erros com média zero. Denotando por \hat y_i o valor ajustado pelo modelo e por \bar y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i a média das respostas, vamos definir as somas de quadrados.

Passo 3

A soma de quadrados total ( \mathrm{SST}) mede a variabilidade total das observações em torno da média:
\mathrm{SST} = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2.

Passo 4

A soma de quadrados da regressão ( \mathrm{SSR}) mede a parte da variabilidade explicada pelo modelo:
\mathrm{SSR} = \sum_{i=1}^n (\hat y_i - \bar y)^2.
A soma de quadrados residual ( \mathrm{SSE}) mede a variabilidade não explicada (erros):
\mathrm{SSE} = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat y_i)^2.

Passo 5

O teorema fundamental da análise de variância em regressão diz que há uma partição da variabilidade total:
\mathrm{SST} = \mathrm{SSR} + \mathrm{SSE}.
Isso reflete que toda variação de y_i em relação à média \bar y é ou explicada pelo ajuste ( \mathrm{SSR}) ou permanece no resíduo ( \mathrm{SSE}).

Passo 6

Na prática, a soma quadrática serve para:
  1. Avaliar a qualidade do modelo via coeficiente de determinação
R^2 = \frac{\mathrm{SSR}}{\mathrm{SST}},
que varia entre 0 e 1.
2. Construir testes de hipótese (ANOVA) comparando \mathrm{SSR} e \mathrm{SSE}.

Resposta

A soma quadrática em regressão consiste em três quantidades:
\mathrm{SST} = \sum (y_i - \bar y)^2,\quad \mathrm{SSR} = \sum (\hat y_i - \bar y)^2,\quad \mathrm{SSE} = \sum (y_i - \hat y_i)^2,
com a relação \mathrm{SST} = \mathrm{SSR} + \mathrm{SSE}. Essas somas medem, respectivamente, a variabilidade total, a parte explicada pelo modelo e a parte residual, servindo de base para avaliar ajuste e testar hipóteses.

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