(deGroot) Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X\) seja dada por:
\[f_{X}(x)= \begin{cases}c x^{2}, & 1 \leq x \leq 2 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
a) Encontre o valor da constante c\] [Dica: use as condições para que \(f_{X} seja uma f.d.p.].
b) Encontre o valor de \mathbb{P}(X>3 / 2).
Passo 1
O enunciado fornece a função densidade de probabilidade (f.d.p.) f_X\) definida por:
\[f_{X}(x)= \begin{cases}c x^{2}, & 1 \leq x \leq 2 \\[4pt] 0, & \text{caso contrário}\end{cases}
As perguntas são:
(a) Encontrar a constante c\].
(b) Calcular \(\mathbb{P}\bigl(X>3/2\bigr).
Informações relevantes dadas:
A densidade é diferente de zero apenas no intervalo [1,2].
c é uma constante desconhecida que devemos determinar.]
Passo 2
Conceito importante (normalização de uma f.d.p.): para que f_X seja uma densidade válida, a integral de f_X sobre toda a reta deve ser 1, isto é
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
Como f_X(x)=0 fora de [1,2], essa condição reduz-se a
\int_{1}^{2} f_X(x)\,dx = 1.
Aqui a variável de integração é x e c é uma constante a ser determinada. Substituindo f_X(x)=c x^{2} no intervalo, obtemos a equação:
\int_{1}^{2} c x^{2}\,dx = 1.
Passo 3
Calcular a integral \displaystyle \int_{1}^{2} x^{2}\,dx. Lembrando a primitiva de x^{2}: \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}. Assim,