(deGroot) Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X\) seja dada por: \[f_{X}(x)= \begin{cases}c x^{2}, & 1 \leq x \leq 2 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
a) Encontre o valor da constante c\] [Dica: use as condições para que \(f_{X} seja uma f.d.p.].
b) Encontre o valor de \mathbb{P}(X>3 / 2).

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade de probabilidade (f.d.p.) f_X\) definida por: \[f_{X}(x)= \begin{cases}c x^{2}, & 1 \leq x \leq 2 \\[4pt] 0, & \text{caso contrário}\end{cases}
As perguntas são:
(a) Encontrar a constante c\]. (b) Calcular \(\mathbb{P}\bigl(X>3/2\bigr).
Informações relevantes dadas:
  • A densidade é diferente de zero apenas no intervalo [1,2].
  • c é uma constante desconhecida que devemos determinar.]

Passo 2

Conceito importante (normalização de uma f.d.p.): para que f_X seja uma densidade válida, a integral de f_X sobre toda a reta deve ser 1, isto é
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
Como f_X(x)=0 fora de [1,2], essa condição reduz-se a
\int_{1}^{2} f_X(x)\,dx = 1.
Aqui a variável de integração é x e c é uma constante a ser determinada. Substituindo f_X(x)=c x^{2} no intervalo, obtemos a equação:
\int_{1}^{2} c x^{2}\,dx = 1.

Passo 3

Calcular a integral \displaystyle \int_{1}^{2} x^{2}\,dx. Lembrando a primitiva de x^{2}: \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}. Assim,
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3} = \frac{8}{3}-\frac{1}{3} = \frac{7}{3}.

Passo 4

Retornando à equação de normalização \displaystyle c\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = 1, substituímos o valor da integral:
c\cdot\frac{7}{3} = 1.
Resolvendo para c:
c = \frac{1}{7/3} = \frac{3}{7}.
Observação: faz sentido que c>0 porque densidade é não negativa.

Passo 5

Agora vamos calcular \displaystyle \mathbb{P}\bigl(X>3/2\bigr). Para uma variável contínua com densidade f_X, vale a regra
\mathbb{P}(a<X<b)=\int_{a}^{b} f_X(x)\,dx.
Como a densidade é zero fora de [1,2], temos
\mathbb{P}\bigl(X>3/2\bigr)=\int_{3/2}^{\infty} f_X(x)\,dx = \int_{3/2}^{2} c x^{2}\,dx.
Aqui usamos que \displaystyle \int_{2}^{\infty} f_X(x)\,dx=0.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle \int_{3/2}^{2} x^{2}\,dx. Novamente usando a primitiva \frac{x^{3}}{3}:
\int_{3/2}^{2} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{3/2}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{(3/2)^{3}}{3}.
Calculemos cada termo:
\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3},\qquad \frac{(3/2)^{3}}{3}=\frac{27/8}{3}=\frac{27}{24}=\frac{9}{8}.
Portanto
\int_{3/2}^{2} x^{2}\,dx = \frac{8}{3}-\frac{9}{8} = \frac{64-27}{24} = \frac{37}{24}.

Passo 7

Multiplicamos pela constante c=\dfrac{3}{7} para obter a probabilidade:
\mathbb{P}\bigl(X>3/2\bigr)= c\cdot\frac{37}{24} = \frac{3}{7}\cdot\frac{37}{24} = \frac{111}{168}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{111}{168} = \frac{37}{56}.
Como verificação numérica, \dfrac{37}{56}\approx 0{,}6607, ou seja cerca de 66{,}07\%.

Resposta

\displaystyle c=\frac{3}{7}
\displaystyle \mathbb{P}\bigl(X>3/2\bigr)=\frac{37}{56}

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