Seja C o quarto de elipse de equação
x^216+y^225=1, x >= 0, y >= 0
(a) Encontre uma parametrização r(t) de C, o vetor tangente r(t) e um vetor normal N no ponto r(t).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização vec r(t) do quarto de elipse
x^216+y^225=1, x>=0,;y>=0,
além do vetor tangente vec r,'(t) e de um vetor normal vec N(t) em cada ponto vec r(t). Vamos usar a parametrização trigonométrica padrão de uma elipse.

Passo 2

Escolhemos
vec r(t) = l(4cos t,;5sin tr), 0<= t<= pi2
De fato, l(4cos tr)^2/16 + l(5sin tr)^2/25 = cos^2t + sin^2t =1, e x=4cos t>=0, y=5sin t>=0.

Passo 3

Derivando componente a componente obtemos o vetor tangente
vec r,'(t) = l(-4sin t,;5cos tr)
Esse vetor aponta na direção da curva e é tangente em cada ponto vec r(t).

Passo 4

Para um vetor normal basta escolher um vec N(t) ortogonal a vec r,'(t). Por exemplo, trocamos componentes e ajustamos sinal para ter produto interno zero:
vec N(t)=l(5cos t,;4sin tr)
De fato
vec r,'(t)cdot vec N(t) = (-4sin t),(5cos t) + (5cos t),(4sin t) =0,
logo vec N(t) é normal ao traço da elipse.

Resposta

vec r(t)=(4cos t,,5sin t), vec r,'(t)=(-4sin t,,5cos t), vec N(t)=(5cos t,,4sin t), 0<= t<=pi2

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