Seja
uma função vetorial e
um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a expressão faz sentido e, em caso afirmativo, dizer se o resultado é escalar ou vetorial. O conteúdo é Cálculo Vetorial: operadores Gradiente (Grad), Rotacional (Rot) e Divergente (Div). Vamos precisar das definições de domínio e imagem de cada operador e da identidade clássica .
Passo 2
Começando pela composição: primeiro aplicamos o Gradiente a
. O Gradiente de um escalar
é um campo vetorial . Em seguida aplicamos o Rotacional (curl) a esse campo vetorial, ou seja, . Como o Rotacional exige de entrada um campo vetorial e produz outro campo vetorial, essa etapa está bem-definida. Por fim, aplicamos o Divergente: . O Divergente exige um campo vetorial e produz um escalar, logo toda a composição é significativa e gera um campo escalar.
Passo 3
Agora usamos a identidade fundamental do cálculo vetorial:
Passo 4
Logo
Passo 5
Isso mostra que o resultado é o campo escalar nulo.
Resposta
A expressão é bem definida e o resultado é um campo escalar (especificamente o campo escalar nulo).