Seja r uma função vetorial e F um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Div(Rot(Grad(f)))

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a expressão faz sentido e, em caso afirmativo, dizer se o resultado é escalar ou vetorial. O conteúdo é Cálculo Vetorial: operadores Gradiente (Grad), Rotacional (Rot) e Divergente (Div). Vamos precisar das definições de domínio e imagem de cada operador e da identidade clássica .

Passo 2

Começando pela composição: primeiro aplicamos o Gradiente a f. O Gradiente de um escalar f é um campo vetorial . Em seguida aplicamos o Rotacional (curl) a esse campo vetorial, ou seja, . Como o Rotacional exige de entrada um campo vetorial e produz outro campo vetorial, essa etapa está bem-definida. Por fim, aplicamos o Divergente: . O Divergente exige um campo vetorial e produz um escalar, logo toda a composição é significativa e gera um campo escalar.

Passo 3

Agora usamos a identidade fundamental do cálculo vetorial:
nablatimes(nabla f)=vec0

Passo 4

Logo
nablacdotl(nablatimes(nabla f)r)=nablacdotvec0=0

Passo 5

Isso mostra que o resultado é o campo escalar nulo.

Resposta

A expressão é bem definida e o resultado é um campo escalar (especificamente o campo escalar nulo).

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