Use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
é orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
é a circunferência no plano xy que tem raio 2 e está centrada na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de linha de um campo vetorial $ F $ ao longo de uma curva $ C $ usando o Teorema de Stokes. Aqui, $ C $ é uma circunferência no plano $ xy $ com raio 2, centrada na origem, e orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes e como aplicá-lo a campos vetoriais e curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial $ F $ ao longo de uma curva fechada $ C $ com a integral de superfície da rotacional de $ F $ sobre uma superfície $ S $ que tem $ C $ como sua fronteira. Em fórmula, fica assim:
Isso significa que, em vez de calcular a integral ao longo da curva, podemos calcular a integral sobre a superfície que a curva delimita, o que às vezes é mais fácil.
Passo 3
Vamos identificar nosso campo vetorial $ F $:
E a curva $ C $ é a circunferência no plano $ xy $ com raio 2 e centro na origem. Como $ C $ está no plano $ xy $, podemos escolher a superfície $ S $ como o próprio disco no plano $ xy $ com raio 2.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a rotacional de $ F $, que é $ \nabla \times F $. A rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- $ \frac{\partial F_z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} e^{x z} = 0 $ (pois não depende de $ y $)
- $ \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (x y^{2}) = 0 $ (também não depende de $ z $)
- $ \frac{\partial F_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (-y x^{2}) = 0 $
- $ \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} e^{x z} = z e^{x z} $
- $ \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x y^{2}) = y^{2} $
- $ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (-y x^{2}) = -x^{2} $
Então, a rotacional fica:
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral de superfície $ \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot d\mathbf{S} $. Já que a superfície $ S $ está no plano $ xy $, o vetor normal $ \mathbf{n} $ é na direção positiva de $ z $, ou seja, $ \mathbf{n} = (0, 0, 1) $. Assim, $ d\mathbf{S} = \mathbf{n} , dA = (0, 0, 1) , dA $.
Portanto, o produto escalar entre $ \nabla \times F $ e $ d\mathbf{S} $ é:
Passo 6
Agora, nossa integral de superfície fica:
Como estamos no plano $ xy $ e $ S $ é um disco de raio 2, é conveniente usar coordenadas polares para simplificar a integral. Em coordenadas polares, $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $, e $ dA = r , dr , d\theta $. Além disso, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $.
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Os limites para $ r $ vão de 0 a 2, e para $ \theta $ vão de 0 a $ 2\pi $. Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral em $ r $ primeiro:
Agora, integramos em $ \theta $:
Resposta
A integral de linha é igual a $ 8\pi $.