Determine se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente
sumn=1^infty(-1)^n+1 1ln (n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série sumn=1^infty(-1)^n+1 1ln (n+1) é absolutamente ou condicionalmente convergente. Isso significa que vamos verificar se a série convergente mesmo quando ignoramos os sinais negativos ou se a convergência depende desses sinais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência, como o teste da série alternada e o teste da convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1 1ln (n+1) | = sumn=1^infty 1ln (n+1)
Queremos saber se essa nova série converge.

Passo 3

Para verificar se sumn=1^infty 1ln (n+1) converge, podemos comparar com a integral:
integral2^infty 1ln x , dx
Sabemos que essa integral diverge porque cresce sem limites à medida que $ x $ aumenta. Portanto, a série dos valores absolutos diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, não temos convergência absoluta. Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada.

Passo 5

O Teste da Série Alternada diz que se $ b_n $ é uma sequência positiva que diminui monotonamente para zero, então a série $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n $ converge.
No nosso caso, $ b_n = \frac{1}{\ln (n+1)} $.
Vamos verificar duas coisas:
  1. $ b_n $ é positiva.
  2. $ b_n $ diminui e tende a zero.

Passo 6

  1. Positividade: $ \ln (n+1) > 0 $ para $ n \geq 1 $, então $ b_n > 0 $.
  2. Diminuição e Limite: À medida que $ n $ aumenta, $ \ln (n+1) $ aumenta, então $ b_n = \frac{1}{\ln (n+1)} $ diminui. Além disso,
ln (n+1) > 0

Passo 7

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série original converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 1ln (n+1) é condicionalmente convergente.

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