Determine se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente. Isso significa que vamos verificar se a série convergente mesmo quando ignoramos os sinais negativos ou se a convergência depende desses sinais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência, como o teste da série alternada e o teste da convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos:
Queremos saber se essa nova série converge.
Passo 3
Para verificar se sumn=1^infty 1ln (n+1) converge, podemos comparar com a integral:
integral2^infty 1ln x , dx
Sabemos que essa integral diverge porque cresce sem limites à medida que $ x $ aumenta. Portanto, a série dos valores absolutos diverge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos diverge, não temos convergência absoluta. Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada.
Passo 5
O Teste da Série Alternada diz que se $ b_n $ é uma sequência positiva que diminui monotonamente para zero, então a série $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n $ converge.
No nosso caso, $ b_n = \frac{1}{\ln (n+1)} $.
Vamos verificar duas coisas:
$ b_n $ é positiva.
$ b_n $ diminui e tende a zero.
Passo 6
Positividade: $ \ln (n+1) > 0 $ para $ n \geq 1 $, então $ b_n > 0 $.
Diminuição e Limite: À medida que $ n $ aumenta, $ \ln (n+1) $ aumenta, então $ b_n = \frac{1}{\ln (n+1)} $ diminui. Além disso,
ln (n+1) > 0
Passo 7
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série original converge condicionalmente.
Resposta
A série sumn=1^infty(-1)^n+1 1ln (n+1) é condicionalmente convergente.